9.2. Критичні напруги. Розрахунок критичної сили при напругах, що перевищують границю пропорційності

Критичною напругою називається напруга, яка виникає в по­перечному перерізі А стержня під дією критичної сили:

Враховуючи, що найменший радіус інерції поперечного перерізу стержня маємо:

Введемо поняття гнучкості стержня:

Гнучкість стержня - це безрозмірна величина, яка характеризує вплив розмірів стержня і способу закріплення його кінців на здатність чинити опір втраті стійкості.

Виведення формули Ейлера грунтується на підставі диференціального рівняння пружної лінії балки і закону Гука. Тому формулою /9.10/мож­на користуватися тільки тоді, коли напруга не перевищує границі про­порційності , тобто коли виконується умова . Очевидно, що формула Ейлера застосовна тільки тоді, коли гнучкість стержня більше від деякої величини , що називається гранич­ною гнучкістю. Підставивши в /9.12/ граничне значення критичної напруги , дістанемо:

За допомогою поняття граничної гнучкості умову застосування фор­мули Ейлера можна записати у вигляді:

Гранична гнучкість залежить лише від фізико-механічних властивостей матеріалу стержня і стала для даного матеріалу. Наприклад, для сталі 45 = 270 МПа, Е = 2 ·10⁵ МПа, тоді згідно з /9.14/ = 85.

В координатах залежність /9.12/ подана кривою /рис.9.5/, яка називається гіперболою Ейлера. При гнучкості

значення , обчислені за формулою /9.12/, різко зростають.

Дійсні критичні напруги, як показали численні експерементальні дослідження, будуть значно меншими. Отже, підтверджується той факт, що для стержнів, гнучкість яких менша за , формула Ейлера не засто­совна. Тоді в розрахунках використовують формулу Ясинського

Де а і в - коефіцієнти, які залежать від матеріалу. В табл.9.І

наведені значення коефіцієнтів а і в, а також значення граничної гнучкості

д ля деяких матеріалів.

Для чавуна користуються параболічною залежністю

Залежність згідно з формулою Ясинського, показана на рис.9.5 прямою лінією.

За деяких значень гнучкості величина , що обчислюється за формулою Ясинського, досягає небезпечної для даного матеріалу напруги: для пластичних або для крихких матеріалів. Очевидно, що для стержнів, гнучкість яких менша за , розрахунок на стійкість замінюють розрахунком на міцність. Методика таких розрахунків розглянута в розд.2.

Отже, залежно від величини гнучкості стиснуті стержні роз­раховують так: при малих значеннях: - на простий стиск; при середніх значеннях: за формулою Ясин­ського, а при великих: ( ) - за формулою Ейлера.

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1. Що розуміють під критичною силою і критичною напругою тонких прямих стиснутих стержнів?

2. Запишіть формулу Ейлера. Як визначити межі використання цієї формули?

3. Що таке коефіцієнт зведення довжини стержня? Наведіть прикла­ди стержнів з різним ,

4. Що таке гнучкість стержня?

5. Що таке коефіцієнт запасу стійкості та коефіцієнт поздовжнього згину?

ВИКЛАДАЧ____________________

РОЗДІЛ:Опір матеріалів

ТЕМА Розрахунки на витривалість

ПЛАН

1. Виникнення змінних напружень

2. Цикли напружень. Амплітуда циклу, коефіцієнт асиметрії циклу.

3. Втомлене руйнування.

4. Крива витривалості.

5. Емпіричні залежності визначення границі витривалості.

Студент повинен знати: визначення роботи і потужності, одиниці вимірювання.

Студент повинен вміти:визначати роботу і потужність матеріальної точки та тіла, що обертається.

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА [2]§10.1; [12] §§ 11.1 – 11.3

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА