9.1. Критична сила, формула Ейлера

Розглянемо тонкий прямий стержень, довжина якого значно більша за поперечні розміри /рись9.2,а/. В процесі дії на стержень стискуючої си­ли F він зберігає прямолінійну стійку форму рівноваги. Малим збуд­женням цієї форм, яка виникає, наприклад, під час невеликого додаткового поперечного навантаження, відповідають малі прогини. Із збільшенням сили до її критичного значення F_кр прямолінійна форма стає нестійкою і стержень раптово викривляється /рис.9.2,б/.

Критичною силою називається найбільше значення стискуючої сили, до якої прямолінійна форма рівноваги стержня залишається стійкою. Згин, пов'язаний із втратою стійкості стержня прямолінійної форми, назива­ється поздовжнім згином.

Для безпечної роботи-конструкції робоче навантаження має бути менше за критичну силу F . Позначимо допустиму стискуючу силу [ F] ,

Д е [Sст] - допустимий коефіцієнт запасу стійкості.

Очевидно, що стійкість достатня, якщо [Sст] > 1. Значення кое­фіцієнта запасу стійкості залежить від призначення стержня і його ма­теріалу. Звичайно для сталей [Sст] = 1.8...3; для чавунів [Sст] = 5...5,5; для дерева [Sст] = 2,8...3,2.

Для визначення критичної сили F_кp розглянемо стержень постій­ного перерізу /рис.9.3,а/, один кінець якого має шарнірно рухому, а другий шарнірно нерухому опору. Візьмемо стискуючу силу як таку, що досягає критичного значення F - F_кр . За цієї умови стержень поряд з прямолінійною матиме також криволінійну форму рівноваги.

Для розрахунку критичної сили скористаємося основним диференціальним рівнянням викривленої осі балки /7.27/:

де Уmin - найменший момент інерції поперечного пе­рерізу стержня.

Абсолютна величина зги­наючого момента в довільному . поперечному перерізі стерж­ня /рис.9.3,6/ М(х) = Fу . Підставивши значення в /9.2/, отримаємо:

О скільки значення згинаючого момента М(х) залежить від напряму осі у/ і значення другої похідної d²y/dx²/: залежить від напряму кривизни 1/ / завжди протилежні за знаком, незалежно від вибору напряму осі у, то в правій частині рівняння /9.3/ поставлено знак "мінус".

Диференціальне рівняння /9.3/.можна записати у вигляді:

Загальний розв'язок лінійного однорідного диференціального рівняння має вигляд

Де С₁ і С₂ - сталі інтегрування.

Значення сталих С₁ і С₂ визначають із граничних умов. Якщо х= О , то y(O)=0 . Щоб задовольнити цю умову, необхідно взяти С₁, = О . Тоді формула /9.6/ набере вигляду

тобто пружна лінія стиснутого силою F стержня має форму синусоїди.

Другу граничну умову отримаємо, враховуючи, що коли х =l , то y(l)= О. Підставивши останнє в /9.7/, матимемо O=C₂sinkl. Добу­ток C₂sinkl дорівнює нулю тоді, коли дорівнює нулю один із спів­множників. Проте, якщо прирівняти до нуля сталу С₂ , то дістанемо нульовий/тривіальний/ розв’язок. Тобто при С₂= О. і y(x)= О стер­жень перебуває в стійкій рівновазі, якщо відсутні будь-які відхилення від прямолінійної форми. Нам же необхідно знайти умову рівноваги ви­кривленої форми стержня, а для цього візьмемо С₂≠О. Тоді маємо:

Найменше значення аргументу, яке задовольняє умову /9.8/, діста­немо,, якщо kl=П. Враховуюча /9.5/, маємо

Ця формула вперше була отримана академіком Петербурзької Акаде­мії наук Леонардом Ейлером /1707-1783/ і тому названа формулою Ейлера.

Формулу /9.9/ використовують в розрахунках для шарнірно закріп­леного двома кінцями стержня /рис.9.З,а/. Значення критичної сили за інших способів закріплення стержня визначають шляхом розв'язування ди­ференціального рівняння /9.4/ з відповідними граничними умовами, форму­ла Ейлера, яка враховує спосіб закріплення кінців стиснутого стержня, має вигляд:

де - коефіцієнт зведення довжини. Добуток називають зведеною довжиною стержня і позначають L_зв. На рис.9.4 наведено приклади стержнів з найхарактернішими спосо­бами закріплення кінців і відповідні їм значення коефіцієнтів