Конспект лекції Рівняння рівноваги плоскої системи довільно розташованих сил

Якщо розглянути рівновагу твердого тіла, що знаходиться в рівновазі під дією плоскої системи сил, то, очевидно, це тіло буде знаходитися в рівновазі лише у тому випадку, якщо головний вектор F_Σ системи сил і її головний момент Μ _Σбудуть дорівнювати нулю.

При розв'язанні задач статики широко використовують аналітичні методи, які вимагають складання рівнянь рівноваги, умови рівноваги можна виразити трьома формами рівнянь рівноваги.

Перша /основна/ форма рівнянь. Із формул для визначення головного вектора і головного моменту плоскої системи сил випливає, що вони дорівнюватимуть нулю, якщо:

- тобто для рівноваги плоскої системи сил необхідно і достатньо, щоб сума проекцій усіх сил на кожну з двох координатних осей і алгебраїчна сума їх моментів відносно будь-якого центра, що лежить у площині дії сил, дорівнювали нулю.

; ;

Другу форму рівнянь рівноваги одержимо, якщо в системі замість одного рівняння моментів складемо два рівняння моментів відносно будь-яких двох центрів, до яких додамо одне рівняння проекцій усіх званих сил на вісь, не перпендикулярну до прямої, що з’єднує ці центри, тобто де вісь X не перпендикулярна лінії АВ /рис. 4.II/.

Через те, що система сил знаходиться в рівновазі, головний момент цієї системи відносно будь-якої точки площини дорівнює нулю, зокрема відносно точок А і В. Для рівноваги плоскої системи сил одного рівняння моментів не достатньо, оскільки головний вектор може проходити, наприклад, через точку Д, тоді момент відносно точки В дорівнює нулю, а відносно точки Д - не дорівнює нулю.

;

Третя форма рівнянь рівноваги наступна. Для рівноваги довільно розташованих сил необхідно і достатньо, щоб алгебраїчна сума моментів усіх сил відносно кожної із трьох довільних точок площини, які не лежать на одній прямій, дорівнювала нулю.

Треба зазначити, що в усіх випадках для системи довільно розташованих сил можна скласти тільки три незалежних рівняння рівноваги. Тому в задачах повинно бути не більше трьох невідомих.

Рис. 1

Рівняння рівноваги плоскої системи паралельних сил

Плоска система паралельних сил є окремим випадком плоскої системи довільно розташованих сил, тому для неї залишаються дійсними три рівняння рівноваги, які будуть встановлені раніше.

Користуючись тим, що осі проекцій можна розмістити в площині дії сил як завгодно, проведемо вісь Y паралельно заданим силам, а вісь X перпендикулярно до них /див. рис. 4.їй/

Проекція будь-якої сили на вісь Х перпендикулярної до сили, дорівнюватиме нулю, а тому перше з рівнянь перетвориться на тотожність U = 0 при яких завгодно значеннях сил і незалежно від того, знаходиться система паралельних сил в рівновазі

чи ні. При такому виборі осей проекцій для цієї системи сил рівність втрачає зміст і відпадає.

Оскільки всі задані сили паралельні осі У то проекція кожної сили на цю вісь дорівнює модулю цієї сили, взятої з відповідним знаком. Таким чином, рівняння рівноваги для плоскої системи паралельних сил набувають вигляду

;

Для рівноваги плоскої системи паралельних сил необхідно і достатньо, щоб дорівнювали нулю сума проекцій всіх сил на вісь, паралельну силам, і алгебраїчна сума моментів цих сил відносно будь-якої точки, що лежить у площині дії сил.

Другу форму рівнянь рівноваги для плоскої системи паралельних сил можна одержати, якщо розмістити центри моментів $ і Ь на прямій, перпендикулярній до напряму сил /рис. 4.13/, д записати рівняння моментів усіх діючих сил відносно цих центрів, а саме:

;

Для рівноваги плоскої системи паралельних сил необхідно і достатньо, щоб дорівнювали нулю алгебраїчні суми моментів усіх сил відносно кожної з двох довільних точок, що