Конспект лекції Напружений стан при зсуві

Деформація зсуву виникає тоді, коли зовнішні сили зміщують два паралельні перерізи стержня один відносно одного при незмінній від­стані ніж ними. Деформації зсуву зазнають частини ластового матеріалу під час різання Його ножицями /рис.4.1,а,б/. При зсуві з шести внут­рішніх силових факторів /див. підрозд.1.2/ відмінною від нуля залиша­ється тільки поперечна сила Q_у або Qz. Надалі, опускаючи індекси, поперечну силу позначатимемо Q. Приклади деталей машин, які працюють на зсув: шпонкові, штифтові, заклепочні, зварні, паяні і клеєні з'єд­нання тощо.

Рис.4.1 Схема дії сил при зсуві /а/, вигляд здеформованого елемента /б/ і напрям поперечної сили Q при зсуві

Використовуючи метод перерізів, розріжемо стержень на ділянці зсуву між площинами m – m і n - n /рис.4.1,в/ і визначимо значення поперечної сили. Із умови рівноваги Q = F Оскільки поперечні сили в перерізах спричиняють дотичні напруги, то відповідно до інтеграль­них рівнянь рівноваги /1.8/ маємо

/4.1/

Вважають, що при зсуві дотичні напруги розподілені на площі попе­речного перерізу стержня рівномірно. Тоді із /4.1/ знаходимо

/4.2/

На ділянці стержня, де відбувається деформація зсуву, вирі­жемо елемент AВСДА₁В₁С₁Д₁ /рис.4.2,а/ з розміром ребра а і покажемо його у збільшеному вигляді /рис.4.2,б/. Для наочного уяв­лення про деформацію зсуву закріпимо, наприклад, нижню грань АА₁ Д₁ Д елемента. На гранях ДСС₁ Д і АВВ₁ А діють дотичні напруги, величину яких ми вже визначили за формулою /4.2/. Відповідно до за­кону парності дотичних напруг, такі ж дотичні напруги А діють і на

Рис.4.2. Встановлення напруженого, стану в точці поперечного перерізу при зсуві /а/ і ілюстрація визначення абсолютного (Д S) і відносного (г) зсуву /б/

гранях ВВ₁ С₁ С і АА₁ Д₁ Д. Внаслідок дії дотичних напруг елемент пе­рекосяться, і видима на рис.4.2,б грань AВСД займе положення АВ₂ С₂ Д. На гранях же АВСД і А₁ В₁ С₁ Д₁ /рис.4.2,а/ нормальні і до­тичні напруги відсутні, оскільки відсутні на них внутрішні зусилля. На підставі результатів аналізу робимо висновок, що розглядуваний еле­мент перебуває в плоскому напруженому стані.

Напружений стан у точці, коли на гранях вирізаного навколо неї елемента відсутні нормальні, а діють лише дотичні напруги, називаєть­ся чистим зсувом.

Назвемо грань елемента ДСС1 Д1 б - площадкою, а грань ВВ₁ С₁ С, що перпендикулярна до неї , в - площадкою. В цьому разі на б - площадці діють напруга А_б = А , у_б = 0, на в –площадці А_в = -А , у_в = 0 . Користуючись нерівністю /3.2/, обчислимо головні на­пруги такого плоского напруженого стану:

Величина ДS / ВВ₂ або СС₂ /рис.4.2,б/, на яку змістилась грань елемента внаслідок деформації зсуву, називається абсолютним зсувом.

Кут В₂ АВ між гранями елемента до і після деформації зсуву на­зивається відносним зсувом. Відносний зсув позначається літерою г і вимірюється в радіанах.

Абсолютний і відносний зсуви взаємозв'язані. Так, з трикутни­ка В₂ АВ маємо tgг = Д S/a . Внаслідок мализни кута г вва­жають, що tgг = г . тоді

/4.4/

В межах пружності між відносним зсувом г і дотичними напру­гами А, існує зв'язок. Цей зв'язок виражається законом Гука, який для деформації зсуву формулюється так: відносний зсув матеріалу прямо пропорційний дотичним напругам, що спричиняють цей зсув, тобто

/4.5/

Коефіцієнт пропорційності G називається модулем зсуву, або мо­дулем пружності другого роду. Для ізотропних матеріалів він пов’язаний з іншими механічними характеристиками співвідношенням

/4.6/

де Е - модуль пружності першого роду; µ - коефіцієнт Пуассона. Виразимо абсолютний зсув ДS через поперечну силу. Для цього в формулу /4.4/ підставимо /4.5/ і /4.2/, тоді