Конспект лекції Визначення моментів інерції складних плоских фігур

Під час обчислення моментів інерції фігур, які можна розбити умов­но на прості, виникає необхідність визначення моментів інерції відносно паралельних осей.

Нехай для деякого поперечного перерізу /рис.5.10/ відомі моменти інерції відносно центральних осей Іz , Іy, Іzy. Визначимо мо­менти інерції цього перерізу відносно осей z₁ і у₁ , які паралель­ні центральним осям z і y і розміщені від останніх на відста­нях а і в. Оскільки у₁ = у + а, z₁ = z + b то відцентровий І_z1y1 і осьові I_z1, I_y1 моменти інерції згідно з формулами /5.5/, /5.8/ будуть такі :

Рис. 5.10. Схема до визначення момент інерції площі відносно осей, паралельних центральних

Отже, осьовий момент інерції відносно будь-якої осі дорівнює центральному моменту інерції відносно осі, паралельної даній, плюс добуток площі фігури на квадрат відстані між осями.

На основі формул /5. 16/ і /7.17/ можна запропонувати такий порядок обчислення головних моментів інерції складних фігур, що мають вісь симетрії.

1. Розбити складну фігуру на прості, геометричні характеристики /центр ваги, моменти інерції/, яких легко визначити.

2. Провести допоміжну систему координат /бажано в цьому разі поєд­нати її з центральною системою координат однієї із простих складових частин фігури.

3. Визначити положення центра ваги складної фігури і провести центральні головні осі u і v , враховуючи, що вісь симетрії в од­нією із головних осей.

4. Користуючись формулами /5.15/ і /5.17/, визначити головні цент­ральні моменти інерції Iu і Iv.

Приклад 5.1. Обчислити головні моменти інерції тавра /рис.6.11/.

Розв'язання. Розбиваємо тавр на два простих прямокутники. Перший прямокутник площею А₁ = 6а•2а = 12а² має центр ваги в точці С₁, його центральні осі позначимо z₁ і y_1. Відносно цих осей, користу­ючись формулами /5.9/ і /5.10/, визначимо осьові моменти інерції пря­мокутника:

Рис. 5.11. Схема до обчислення моментів інерції складної площі поперечного перерізу.

Другий прямокутник має площу А₂ = 4а •3а = 12а² , його центр ваги - С₂ і центральні осі z₂ ,y₂ .Центральні моменти інерції другого прямокутника

За одну з головних центральних осей інерції V беремо вісь си­метрії тавра. Оскільки осі у₁ і у₂ збігаються з головною віссю V, то момент інерції тавра відносно осі V буде

Для визначення положення головної центральної осі u встановимо центр ваги тавра С. За допоміжну систему координат візьмемо осі V і Z₂ . Тоді ордината центра ваги фігури

Абсциса центра ваги площі фігури розміщена на центральній осі V . Визначене таким чином положення центра ваги С показано на рис.5.11. Провівши через точку С пряму, перпендикулярну до осі симетрії, ма­тимемо другу головну центральну вісь U.

Позначимо відстані від осі U до паралельних їй осей z₁ і z₂ відповідно через а₁ та а_2. Головний центральний момент інер­ції тавра відносно осі U визначаємо за формулою І_u^І = I_u^I + I_u^II, де I_u^I і I_u^II - моменти інерції від­повідно першого і другого прямокутника відносно осі U. Використовую­чи формулу /5.16/, дістаємо

Приклад 5.2. Визначити положення головних центральних осей і обчислити головні центральні моменти інерції фігури /рис.5.12/, якщо R = 2т = 10 см.

Розв'язання. Оскільки вісь у є віссю симетрії фігури, то вона буде також центральною головною віссю V .

де

Знайдемо положення центральної осі U . Проведемо допоміжну вісь Z , сумістивши її з Z₂. Центр ваги фігури розміщено на осі симетрії V , його положення визначається за формулою

Рис.5.12. Схема до визначення центральних осей і моментів інерції складної площі переріз

Момент інерції фігури відносно осі V визначимо як різницю мо­ментів інерції великого і малого кругів:

Момент інерції плоскої фігури відносно осі U становитиме

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1. Що розуміють під головними осями інерції?

2. Як визначити осьовий момент інерції?

ВИКЛАДАЧ____________________

РОЗДІЛ:Опір матеріалів

ТЕМА Кручення

ПЛАН

1. Чистий зсув

2. Закон парності дотичних напружень

3. Закон Гука для зсуву, модуль зсуву

4. Залежність між трьома постійними для ізотропного тіла

5. Крутні моменти і їх епюри

Студент повинен знати: визначення деформації кручення та застосовувати метод перерізів для визначення крутних моментів.

Студент повинен вміти : будувати епюри крутних моментів .

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА[2] §§5.1 – 5.4; [12] §§ 6.1, 6.2

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА