Конспект лекції Статично невизначені системи

Елементі конструкцій і споруд розраховують після обчислення внут­рішніх силових факторів, як! визначають через дів зовнішніх сил, у тому числі і реакцій. Реакції встановлюють на основі рівнянь рів­новаги за законами Теоретичної механіки, в стержневі системи, у яких кількість реакцій перевищує число незалежних рівнянь статики, і тоді таку задачу неможливо розв'язати тільки методами теоретичної механіки.

Так, стержнева система, яку ми розглядали в підрозд.2.4, прик­лад 2.3 /див.рис.2.8/, в статично визначеною, оскільки зусилля N₁ і N₂ ми змогли знайти з рівнянь статики. В той же час стержнева система /рис.2.15/ є вже статично невизначеною, бо три невідомих зусилля N₁, N_2, N₃ неможливо обчислити, використовуючи лише рівнянням статики, яких тут можна складати тільки два.

Рас.2.16. Один раз статично невизначена стержнева система

Статично невизначеними називаються такі системи, зусилля /реак­ції/яких неможливо обчислити тільки з рівнянь статики. Ступінь ста­тичної невизначеності підраховується як різниця між кількістю не­відомих зусиль /реакцій/ і числом рівнянь статика. Наприклад, стержне­ва система, зображена на рис.2.15, є один paз статично невизначеною, на рис.2.16 - двічі статично невизначена і т.д.

Рис. 2.16. двічі статично невизначена стержнева система.

В курсі опору матеріалів розраховуються реальні системи, які здатні деформуватися під дією зовнішніх сил,і ця обставина викорис­товується для складання потрібних /додаткових до статичних/ рівнянь.

Доти, поки діючі сили не призвели до зруйнування конструкцію, деформації її елементів взаємозв'язані. Довільний елемент такої си­стеми не може деформуватись ізольовано, незалежно від деформації ін­ших елементів, встановлюючи взаємозв'язок між деформаціями окремих елементів стержнів і беручи до уваги закон Гука,отримують додаткові рівняння /до рівнянь статики/, що зв'язують вже внутрішні сили /або реакції/.

Отже, для розв'язання статично невизначених систем необхідно поряд із рівняннями статики розглянути додаткові рівняння, складені на основі геометричної і фізичної сторін цієї задачі.

В цьому роз­ділі статично невизначені стержневі конструкції, елементи ягах пра­цюють на розтяг або стиск, будемо розв'язувати в такій послідовності

1. Визначаємо ступінь статичної невизначеності /пояснено раніше/

2. Розглядаємо статичну сторону задачі, складаємо ті рівняння ста­тики, в які входять невідомі зусилля /реакції/. Їх кількість визна­чається системою дії зовнішніх сил.

3. Геометрична сторона задачі. Виявляємо і записуємо математичний зв'язок між деформаціями окремих стержнів /елементів/ системи. Таких рівнянь запишемо стільки, скільки раз статично невизначена система.

4. Фізична сторона задачі. Записуємо фізичний зв'язок міх дефор­мацією і причиною, яка її зумовила. Це може бути закон Гука /2.6/ або закон розширення /стиснення/ матеріалу під час нагрівання /охо­лодження/.

5. Синтез. Розв'язуючи систему із статичних рівнянь і рівнянь отриманих на основі геометричної і фізичної сторін задачі, визначаємо невідомі зусилля /реакції/ в окремих стержнях /елементах стержня/.

Розглянемо приклади розрахунку статично невизначних стержневих конструкцій.

Приклад 2.4. Жорсткий брус ОД /ряс.2.17,а/, деформацією яко­го знехтуємо, шарнірно закріплений у стіні і підвішений горизонталь­но на двох шарнірно закріплених сталевих стержнях, що мають однакову довжину ℓ = 1 м.

Рис. 2.17. Схема статично невизначеної стержневої системи (а) та геометрична сторона задачі даної схеми(б).

В точні Д на брус діє сила F = 40 кН. Визначити площі попереч­них перерізів стержнів, якщо А₁= А₂ , допустима напруга для сталі [у]160 МПа. Модуль пружності для стержнів можна прийняти од­наковим.

Розв’язання. Як відомо, для плоско системи паралельних сил статика дає лише два рівняння рівновагі. Невідомих в системі три: реакція R₀ зусилля N₁, N₂. Отже, задача один раз статечно невизначена.

Статична сторона задачі, в задачі необхідно визначити зусилля в стержнях N₁, N₂ /за ними обчислюються площі перерізів/, тому в двох рівнянь статики складаємо лише одне - те, в яке входять по­трібні невідомі N₁ і N₂ і відсутня зайва для розрахунків реак­ція опори

Геометрична сторона задачі. Під дією сили F жорсткий брус, не деформуючись, повернеться відносно опори О і займе положення ОД. В цьому разі обидва стержні розтягнуться, деформація першого стержня буде ВВ₁ = Дℓ₁, а другого СС₁ = Дℓ₂.

З подібності три­кутників В₁, ОВ і С₁СО установимо зв'язок між цими деформаціями:

Фізична сторона задачі. Деформації стержнів (Дℓ_1, Дℓ₂ ) і зу­силля в них (N₁, N₂ ) зв'язані законом Гука /2.6/, а саме:

Синтез. Спочатку підставляємо фізичні рівняння в геометричне:

Враховуючи, що А₁ = А₂, дістаємо N₁ = N₂/2.

Розв'язуючи останнє рівняння разом із рівнянням статики, маємо N₁ = 0,6 F; N₂ = 1,2 F. Для визначення площі поперечного пере­різу стержнів скористаємося умовою міцності /2.І5/. Оскільки, біль­ше зусилля розвивається в другому стержні, то Nmax = N₂ = 1,2 F і

Отже, для того щоб обидва стержні витримали навантаження F = 40 кН, вони повинні мати діаметри

Приклад 2.5. Брус жорстко закріплений обома кінцями між двома стінками і навантажений силою F = 50 кН /рис.2.18,а/, частина бруса ВС - сталева, Ас = 20 • 10^-4 м²; ℓс = 0,4 м, Ес = 2 •10⁵, частина CД - бронзова; Ад = І5 •10^-4 м²; ℓд = 0,6 м, Ед = 1•10⁵ МПа. Визначити зусилля в частинах бруса; побудувати епюри нормальних сил і напруг.

Рис.2.18. Епюра нормальної сили (N) і напруги (у) у статично невизначеному стержні

Розв’язання. Задачі такого типу також відносяться до розряду ста­тично невизначених.

Статична сторона задачі. Під дією зовнішньої сили виникають опорні реакції Rд і Rв Для системи сил, що діють по одній прямій, статика дозволяє скласти лише одне рівняння рівноваги: Rд + Rв = F . Невідомих два: Rд і Rв, а рівнянь статики лише одне - задача один раз статично невизначена.

Геометрична сторона задачі. Оскільки кінці бруса закріплені, то результуюча деформація стержня дорівнює нулю, тобто Дℓс + Дℓ_д = 0.

Фізична сторона задачі. Із закону Гука

Синтез. Спочатку, використовуючи метод перерізів, виражаємо зусилля в перерізах через невідомі реакції

а/ на силовій ділянці ВC : Nc = Rв;

б/ на силовій ділянці СД: N_д = -Rд

Підставляємо фізичні рівняння в геометричне:

Розв'язуюча систему рівнянь

дістаємо

R_д = F/5 = 10 кН; R_в = 4R_д = 40 кН.

Зусилля в частинах становлять Nc = 40 кН, N_д = 10 кН. Епюра нормальних сил бруса показана на рис.2.18,б.

Визначаємо напруги в точках поперечних перерізів частин бруса:

Епюра нормальних напруг зображена на рис.2.18,в.