Теорема про зміну кінетичної енергії точки

Н ехай точка масою М /рис. І3.23/ рухається під дією сили F по деякій кривій. Зазначимо, що силу р можна розглядати як рівнодійну будь-якої системи сил.

Згідно з основним законом динаміки

F=ma .

_ Спроектувавши вектори F і a на напрям швидкості, одержимо

Fcosa=macosa.

Із кінематики відомо, що проекція прискорення на напрям швидкос­ті дорівнює дотичному прискоренню а_t, тобто

acosa=a_t=dU/dt .

Підставивши це значення у вираз основного закону і помноживши обидві частини рівняння на нескінченно мале переміщення dS одержимо

FcosadS=m*dU/dt*dS .

Через те що

dS/dt=U ,FcosadS=mUdU .

Проінтегрувавши ліву частину рівності _в_ границях від 0 до S, одержимо роботу сили F на шляху S. Якщо F - рівнодійна системи сил, то W-робота рівнодійної чи алгебраїчної суми робіт усіх сил:

S

∫FcosadS=W .

0

Права частина повинна інтегруватися залежно від границь зміни швидкості. Коли сила почала діяти на точку при початковій швидкос­ті U₀ то, про інтегрувавши в границях від U₀ до U , одержимо:

U U

∫mUdU=m∫UdU=mU²/2-mU₀²/2 ,

U₀ U₀

Таким чином, в результаті інтегрування /13.29/ одержуємо:

W= mU²/2-mU₀²/2 .

Згідно з формулою /13.26/ mU₀²/2- кінетична енергія точки на початку цього шляху.

Тому рівняння /13.30/ виражає теорему: зміна кінетичної енергії tочки на деякому шляху дорівнює роботі всіх діючих на точку сил на тому самому шляху. Якщо при русі точки U>U₀, то mU²/2-mU₀²/2>0, тому величина кінетичної енергії зростає.

ЯкщоU<U₀ , то mU²/2-mU₀²/2<0, тому величина кінетичної енергії точки зменшується в міру подолання некорисних опорів. В окре­мому випадку при U= 0 рівняння /13.30/ набуває вигляду

W= -mU₀²/2 .

Це означає, що точка зупинилася під дією сил опору, робота яких від"ємна і чисельно дорівнює початковому запасу кінетичної енергії точки.

Коли U=U₀, то mU²/2-mU₀²/2=0, а тому W= 0, тобто точка рухається рівномірно, алгебраїчна сума робіт усіх діючих на неї сил дорівнює нулю.

Теорема про зміну кінетичної енергії точки застосовується і для тіла, що рухається поступально. У цьому випадку в рівнянні /13.30/ m - маса тіла, U i U₀ - швидкості центра ваги тіла на початку і наприкінці шляху.

Задача 13.9. Тіло масою m = 5 кг вільно падає без початкової швидкості. Визначити кінетичну енергію тіла через 10 с після початку падіння.

Розв"яаання. Розглядаємо тіло як матеріальну точку. Через 10c швидкість дорівнюватиме U= gt ,а кінетична енергія

F= mU²/2=mg²t²/2=5*9.81²*100/2=24059Дж=24.059кДж

Задача 1З.1О. По похилій площині, що утворює з горизонтом кут 30°, опускається важке тіло бе₃. початкової швидкості. Яку швидкість матиме тіло, пройшовши 3м після початку руху,якщокоефіцієнт тер­тя f = 0,1?

Розв"язання. При ковзанні тіла по похилій площині на нього діє три сили: G- вага тіла, R - нормальна реакція похилої площини, F_f - сила тертя /рис. 13.24/. На початку руху U₀= 0, тому рівнян­ня /13.30/ у даному випадку набуде вигляду

W=mU²/2 ,

Де W=W_G+W_Ff+W_Rn=

=GSsin30º+FfScos180º+0 .

Через те що

F_f=fR_n=fGcos30º,cos160º=l ,

W=GSsin30º-fGScos30º=

=GS(sin30º-fcos30º) .

Підставляючи в рівнян­ня /ІЗ.ЗІ/ значення \/\/ тa G=mg, матимемо:

gS(sin30º-fcos30º)=V²/2 ,

Рис. 13.24

звідки швидкість тіла наприкінці шляху S=3 м.

U=√2gS(sin30º-fcos30º) =

=√ 2*9,81*(0,5 - 0,І*0,866)*3=4,93 м/с.