Робота рівнодіючої. Робота сили ваги

Нехай під дією сил F₁,F₂,…F_n, матеріальна точка M пере­міщується по деякій криволінійній траєкторії із положення M₀в поло­ження M₁ /рис. 2/.

Припустимо, що рівнодіюча F_E цих сил в якийсь момент утворює з дотичною M_τ до трaєкторії кут α=<(R,ΰ).Прийнявши М_τ за вісь проекцій, на основі теореми про проекції рівнодіючої, дістанемо

F _Σcosα=F₁cosα₁+F₂cosα₂+…+F_ncosα_n

Тобто проекція рівнодіючої на деяку вісь до­рівнює алгебраїчній сумі проекцій складових сил на ту саму вісь.

Помножимо обидві частини рівності на нескінченно мале переміщення dS

F_ΣcosαdS=F₁cosα₁dS+F₂cosα₂dS+…+F_ncosα_ndS,

звідки випливає, що елементарна робота рівнодіючої дорівнює алгебраїчній сумі еле­ментарних робіт скла­дових сил. Проінтегрувавши останній вираз в границях від S_р до S₁ /від положення М₀ до M₁//, знайдемо Рис. 2

S₁ S₁ S₁ S₁

∫F_EcosdS=∫f₁cosa₁dS+∫F₂cosa₂dS+…+∫F_ncosa_ndS.

S₀ S₀ S₀ S₀

Інтеграли,що стоять в обох частинах рівності, означають роботу

відповідних сил на переміщенні M₀M_{1 ,}а тому

W_R=W_F1+W_F2+…+W_Fn .

Робота рівнодіючої на деякому шляху дорівнює алгебраїчній сумі робіт складових сил на цьому самому шляху.

Для визначення роботи сили ваги припустимо, що центр ваги ті­ла С переміщується а положення С₁ в положення С₂ /рис. 3/ по деякій криволінійній траєкто­рії, що лежить у вертикальній площині.

Рис. 3

На нескінченно малому елементі шляху dS сила ваги виконає елементарну роботу

dW=GcosαdS ,

це α -кут між напрямом сили ваги й елементарного перемі­щення dS

Замінивши cosαdS= -dy одержимо

dW= -Gdy .

Проінтегрувавши цей ви­раз на всьому шляху С₁С₂ знайдемо ,що

C2 y2 y2

W=∫dW=∫(-G_r)dy= -G∫dy= -G(y₂-y₁)=G(y₁-y₂).

C1 y1 y1

Рис. 3

Різниця y₁-y₂, тобто дорівнює вертикальному перемі­щенню центра ваги тіла /див. рис. 3, а тому

W=G*h

-робота сили ваги не залежить від довжини шляху і форми траєкторії ру­ху і дорівнює добутку модуля сили ваги на вертикальне переміщення центра ваги тіла.

Коли тіло падає, тобто y₁>y₂ і різниця y₁-y₂=h _Додат­на, то і робота сили ваги додатна.

При підніманні тіла y₁<y₂ рівниця y₁-y₂= -h poбота сили ваги від"ємна. з цьому випадку сила ваги стає силою опору.

Очевидно, що при y₁=y₂ тіло рухається в горизонтальній пло­щині/ висота піднімання центра ваги h=0, а тому і робота сили вaги дорівнює нулю.

Задача 2. По похилій площині, що утворює з горизонтом кут β=30°, піднято вантаж G= 30 кН на висоту h=7м. Визначити виконану роботу при рівномірному переміщенні вантажу , якщо рушійна сила F паралельна похилій площині і коефіцієнт тертя при переміщенні тіла по площині f= 0,2.

Розв"язання. При рівномірному русі вгору по похилій площині на тіло діє чотири сили /рис. 4 /: G- сила ваги, R_n- нормальна реакція похилої площини, F- рушійна сила і Ff-сила тертя.

Для даного випадку , одержимо

Рис. 4

W_FΣ=W_G+W_Rn+W_f+W_F .

Тіло рухається рівномір­но, це означає, що система чотирьох сил, які діють не тіло, зрівноважена, тому F_Σ= 0 і W_FΣ=0. Сила R_n перпендикулярна до напряму переміщення тіла, а тому і W_Rn =0. Таким чином, рівняння набуває вигляду

W_G+W_Ff+W_F=0

робота рушійної сили

W_F= -W_G-W_Ff .

Роботу сили ваги визначимо за формулою , пaм"ятaючи, що при підніманні тіла робота сили вaги від"ємна:

W_G= -Gh .

Роботу сили тертя обчислимо за:

W_Ff=F_fScosa .,

де в даному випадку

F_f=f_Rn=fGcosβ , S=h/sinβ , cosa=1 .

/Сила тертя напрямлена під кутом a= 160° до напряму руху тіла./

Підставивши знайдені значення W_G і W_Ff , визначимо роботу рушійної сили F

W_F= -W_G-W_Ff=Gh+fGh(cosβ/sinβ)=Gh(1+fctgβ)=

=30*10³*1(1+0.2*1.732)=282.744*10³ Дж=282.744 кДж