Конспект лекції Способи задавання руху точки

Задати рух точки означає, указати спосіб, з допомогою якого в будь-який момент часу можна визначити положення точки на траєкторії.

Розрізняють три способи задавання руху точки.

Векторний спосіб. Нехай точка М здійснює рух, описуючи в просторі криву (рис. 8.1). Очевидно, що траєкторія точки є годограф радіуса-вектора який визначає положення точки М на її траєкторії. Годографом вектора називають криву, що описує кінець вектора, початок якого весь час знаходиться в одній і тій самій точці. При русі точки М радіус-вектор змінюється за величиною і напрямом з часом. Функціональна залежність радіуса-вектора від часу виражається рівністю

(1)

Ця функція повинна бути однозначною й безперервною. Рівняння (1) називають рівнянням руху точки у векторній формі.

Таким чином, при векторному способі задавання руху точки задається радіус-вектор .

Координатний спосіб. Положення рухомої точки у просторі в даний момент часу визначається трьома координатами (див.рис.8.1), які при русі є функціями часу:

(2)

Ці функції також однозначні, безперервні й мають безперервні похідні. Рівняння (2) називають рівняннями руху точки, а також рівняннями траєкторії точки у параметричній формі. Виключаючи з рівнянь руху точки параметр часу можна одержати рівняння траєкторії в явній формі.

Якщо точка рухається у площині, то її положення визначається двома рівняннями:

(3)

Таким чином, при координатному способі задавання руху точки задаються рівняння руху в координатній формі.

Координати точки можна розглядати як проекції радіуса-вектора на координатні осі. Тому, позначивши одиничні вектори (орти) координатних осей через одержують зв’язок між векторним і координатним способами задавання руху точки:

(4)

Природний спосіб. Нехай точка М рухається по заданій траєкторії (рис. 8.2). Положення точки М в даний момент часу визначається відстанню її від початку відліку (нерухома точка О ). Пройдені відстані вважають додатними, якщо точка перебуває на одному боці від початку відліку, і від’ємними у противному разі. Слід зазначити, що при (t=0) точка М обов'язково перебуватиме в початку відліку О, вона може займати деяке положення М_о що визначається відстанню S_о від початку відліку. Цю відстань, яка відповідає початковому моменту, називають початковою відстанню. Оскільки відстань точки змінюється з часом, то S є функцією від :

(5)

Рівняння (5) називають рівнянням руху по заданій траєкторії, або законом руху точки.

Враховуючи відому з диференціальної геометрії залежність між диференціалом дуги і диференціалом координат і . (Див рис. 8.2)

одержують закон руху точки (8.5) у такому вигляді:

(6)

Таким чином, при природному способі задавання руху точки задається траєкторія руху, закон руху, а також початок і напрям відліку відстаней.

Закон руху точки по траєкторії може бути заданий аналітично або у вигляді графіка. Графік руху ні в якому разі не можна ототожнювати з траєкторією руху точки.