Визначення центра системи паралельних сил

Узагальнимо поняття про центр паралельних сил на систему пара­лельних сил. Нехай дано кілька паралельних сил , напрямлених в один бік, які утворюють деяку просторову систему сил /рис. 7.3/. Знаючи правило додавання двох паралельних сил, шляхом послідовного додавання можна знайти рівнодіючу і для будь-якої системи паралельних сил. Для цього складемо спочатку дві сили і і знайдемо їх рівнодіючу .Вона буде паралельна складовим і напрямлена в той самий бік. Модуль її Точка її прикладання лежить на лінії АВ і знаходиться з пропорції

/7.6/

Додаючи сили і знайдемо рівнодіючу - усіх трьох сил. Вона також буде паралельна складовим і напрямлена в той самий бік. Модуль рівнодіючої дорівнює сумі модулів складових сил

/7.7/ У загальному випадку залежність /7.7/ має вигляд

/7.8/

Точка С прикладання рівнодіючої визначається з пропорції

Повернувши всі сили системи навколо їх точок прикладання в один і той же бік на будь-який однаковий кут . /на рис. 7.3 сили показано штриховими лініями/, дістанемо нову систему паралельних сил з такими самими модулями і точками прикладання складових, але з іншими лініями Дії сил. Послідовно додаючи сили нової системи, дістанемо, що рівнодіюча Дорівнює за модулем сумі модулів складових і і паралельна і тобто її лінія дії повертатиметься в той самий бік на такий самий кут що і складових. Положення точки С прикладання рівнодіючої яке визначається також пропорцією /7,6/, залишається незмінним, оскільки не змінилися ні модулі сил, ні відрізок АВ прямої, що з’єднує їх точки прикладання. Міркуючи так само, знайдемо, що не зміниться положення точки прикладання рівнодіючої усіх сил даної системи. Отже, точка С буде центром даної системи паралельних сил.

Щоб одержати формули для визначення координат центра системи параледьних сил, позначимо координати точок прикладання сил , , , відповідно через /точка А /, /точка В/, /точка D/, /точка СІ. Обчислимо спочатку абсцису Хс. Центра паралельних сил. Для цього запишемо рівняння моментів усіх сил відносно осі Як було показано рані­ше /5.7/, момент рівнодіючої сили відносно координатної осі дорівнює сумі моментів усіх прикладених сил відносно цієї самої осі, тобто

, /7.9/

Звідки маємо

/7.10/

Або з урахуванням /7.7/

/7.11/

Записавши рівняння моментів усіх сил відносно осі Х за аналогією попереднім, матимемо формулу для визначення ординати:

/7.12/

Для визначення аплікати центра паралельних сил повернемо всі сили на 90°, наприклад так, щоб вони були розташовані паралельно осі у і запишемо моменти сил відносно осі х. Звідки

/7.13/

У загальному випадку, коли на тіло діє /7 сил, залежності /7.II/-/7.13/ набувають вигляду:

/7.14/

де - модулі прикладених силі - координати точок їх прикладання

Центр ваги тіла

У результаті взаємодії тіла з Землею на кожну елементарну частинку тіла діє сила ваги, яка завжди напрямлена до центра Землі. Враховуючи, що відстань тіла від центра Землі значно більша за розміри тіла, вважатимемо всі ці сили паралельними. Центр С цієї системи паралельних сил ваги називається центром ваги тіла.

За будь-якого положення тіла в просторі сили ваги його окремих частинок будуть прикладені в одних і тих самих точках і паралельні між собою. Може лише, змінитися положення лінії дії цих сил відносно тіла. Але рівнодіюча системи сил ваги окремих частинок тіла буде завжди проходити через одну і ту саму точку С - центр паралельних сил ваги частинок тіла

Центром ваги тіла є така, незмінно зв’язана з цим тілом геометрична точка, через яку проходить лінія дії сили ваги даного тіла за будь-якого його положення в просторі.

Положення центра ваги тіла залежить тільки від форми тіла й роз­поділу в ньому матеріальних частинок. Причому центр ваги може лежати й поза тілом /наприклад, центр ваги кільця, порожнистого вала, труби тощо/.

Отже, центр ваги тіла є центром паралельних сил - сил ваги окре­мих його частинок. Тому для визначення положення центра ваги можна скористатися формулами для координат центра паралельних сил /7.14/.

Якщо в цих формулах модулі сил замінимо модулями сили ваги окремих частинок тіла, а рівнодіючу - силою ваги тіла, то одержимо формули координат центра ваги тіла:

Формули /7.15/ використовують лише тоді, коли необхідно визначити положення центра ваги неоднорідного тіла або незмінної системи тіл з різних матеріалів. Найчастіше визначають положення центрів ваги однорідних тіл і тоді з формули /7.15/ витікає три їх різновиди.

І. Якщо тіло має вигляд плоскої або просторової решітки /дротяних гратів/, які складаються з однорідних тонких прутів, площі поперечних перерізів яких постійні, то чила ваги будь-якої прямолінійної чи криволінійної ділянки , де - вага одиниці довжини прутка, - довжина окремих ділянок решітки; загальна вага решітки

Тоді, підставивши в /7.15/ замість і їх значення і скоротивши , дістанемо формули для визначення координат

центра ваги тіл у вигляді решітки /каркасу/:

де - координати центрів ваги окремих ділянок решітки довжиною ,

2. Якщо тіло складено з тонких однорідних пластин /листів/ одна­кової товщини, то сила ваги кожної ділянки де - площа окремих ділянок пластинчатої конструкції, р - вага одиниці площі _{пластини; сила ваги всього тіла} . Підшипники і в /7.15/, одержимо формули координат центра ваги тіла /конструкції/, яке складено з однорідних пластин /площ/:

/7.17/

3. Подібні формули одержимо і для однорідних тіл, які складені з об’ємних частин, якщо в формулах /7.15/ замінимо , де - об’єми окремих частин тіла, вага яких і - об’ємна вага

тіла /вага одиниці об’єму тіла/

/7.18/

Для плоских фігур із трьох формул /7.17/ використовуються тільки перші дві /для визначення і /.

Алгебраїчні суми добутків площ частин плоскої фігури на відстань їх центрів ваги до відповідної осі називають статичним моментом площі відносно осей. Отже, статичний момент площі відносно осі у -

відносно осі х -

Позначимо статичні моменти площі відносно осей х і у відповідно через і і приймаючи, що - площа всієї плоскої фігури, формули для визначення координат центра ваги матимуть вигляд

/7.19/

Звідси

/7.20/

тобто статичний момент площі відносно осі дорівнює добутку площі фігу­ри на відстань її центра ваги від цієї осі. Статичний момент плоскої фігури виражається в кубічних метрах, кубічних сантиметрах або кубіч­них міліметрах.

З рівностей /7.20/ витікає, що статичний момент плоскої фігури відносно центральної осі дорівнює нулю. Під центральною віссю розуміють вісь, що проходить через центр ваги плоскої фігури.

Для довільної плоскої фігури /рис. 7.4/ її площу і статичні мо­менти знаходять інтегруванням:

/7.21/

де - елементарна площадка плоскої фігури» - відстань від цієї площадки до відповідної осі; знак А біля інтегралів означає, що інтегрування виконується по всій площі.

П ідставивши /7.21/ в /7.20/, дістанемо формули для визначення координат центра ваги довільної плоскої фігури в інтегральній формі:

/7.22/