3. Метод интегрирования по частям

Пусть производные функций u(x) и v(x) существуют и непрерывны на заданном интервале. Тогда имеет место равенство

 u vdx = u v -  vudx. (1)

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.

Т.к. v(x)dx = dv(x), u(x)dx = du(x), то формулу (1) часто записывают в более компактном виде

 u dv = u v -  vdu. (2)

Как правило, подынтегральное выражение, которое представляет собой произведение udv, можно разбить на множители u и dv несколькими способами (по крайней мере, двумя). Умение выразить подынтегральную функцию через u и dv так, чтобы интеграл справа в формуле (2) был проще, чем интеграл слева, вырабатывается с опытом в процессе вычисления интегралов.

Во время нахождения функции v по ее дифференциалу dv считают, что постоянная С = 0, т.к. на конечный результат эта постоянная не влияет.

Иногда формулу (2) приходится применять несколько раз.

Н екоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:

Задание для самостоятельного решения:

1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. . 10. . 11. . 12. .

13. . 14. . 15. . 16. . 17. . 18. .

19. . 20. . 21. . 22. . 23. . 24. .

2.4. Интегрирование рациональных дробей

2.4.1. Правильные и неправильные дроби

Рациональной дробью называется выражение вида , где Р(х) и Q(x) – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена Р(х) в ее числителе меньше степени многочлена Q(x) в знаменателе. В противном случае дробь называется неправильной.

Всякая неправильная рациональная дробь после деления числителя на знаменатель примет вид = Р₀(х) + , где Р₀(х) – многочлен (целая часть), а - правильная рац. дробь (остаток).

Пример 26. = x² + 3 –

x⁵ + x³ – x² + 1 | x³ – 2x + 1

x⁵ – 2x³ + x² | x² + 3

3x³ – 2x² +1

3x³ – 6x + 3

–2x² + 6x – 2

Т.о., ∫ dx = ∫ Р₀(х) dx + ∫ dx.

Т.к. интеграл ∫ Р₀(х) dx считается элементарно (сводится к сумме табличных), то интегрирование неправильной дроби сводится по сути к интегрированию правильной дроби. Интегрирование правильной рациональной дроби сводится, в свою очередь, к интегрированию простейших дробей.

2.4.2. Разложение правильной дроби на простейшие дроби

Правильные дроби следующих четырех типов называются простейшими (элементарными) дробями:

I. ; II. , k = 2, 3, …; III. ; II. , k = 2, 3, ….

При этом предполагается, что A, B, p, q – действительные числа, а квадратный трехчлен x² + px + q не имеет действительных корней (т.е. D = p² – 4pq < 0).

Каждая правильная рациональная дробь разлагается на сумму простейших дробей указанных четырех типов. А именно: если знаменатель правильной дроби разложен на неповторяющиеся линейные и квадратные множители

Q(x) = (x – a₁)^k1 ∙ (x – a₂)^k2 ∙ … ∙ (x – a_n)^kn ∙ (x² + p₁x + q₁) ^r1 ∙ … ∙ (x² + p_mx + q_m) ^rm,

где k1, k2, … , kn, r1, r2, … , rm – натуральные числа, то эту дробь можно представить в виде следующей суммы простейших:

= + +…+ +…+ + +…+ + …

Коэффициенты А₁, А₂, … , В₁, С₁, … , В_r1, С _r2, … в этом разложении находятся с помощью метода неопределенных коэффициентов (см. примеры). Общее число этих коэффициентов равно степени многочлена Q(x) .

Примеры

27. = + + = =

= => =>

=> = – + + .

28. = + + = =

=> => = – – + .

29. = + + = = =>

=> => = – – + .

Для интегрирования правильной дроби ее следует разложить на сумму простейших, а затем интегрировать каждое слагаемое.