Неопределенный интеграл

Важнейшие свойства интегрирования

Первообразная функция

Функция F ( x ) называется первообразной для функции f ( x ) на интервале (a, b), если F  ( x ) = f ( x ) для всех х(a, b).

Если F ( x ) – первообразная функция для функции f ( x ), то функция F ( x ) + С,

где С – некоторая постоянная, также первообразная для функции f ( x ).

Если F ( x ) и G ( x ) – две первообразные для функции f ( x ), то они отличаются на некоторую постоянную, т.е. существует такое число CR, что F ( x ) – G ( x ) = С.

Неопределенный интеграл

Совокупность всех первообразных для функции f ( x ) называется неопределенным интегралом от функции f ( x ).

Обозначение:  f (x) dx .

Т.о., если F ( x ) – какая-нибудь первообразная функция для функции f ( x ), то

 f (x) dx = F (x) + С.

Знак  называется интегралом, функция f (x) – подынтегральной функцией, а

f (x) dx – подынтегральным выражением.

Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование – операция, обратная операции дифференцирования (т.е. операции, заключающейся в нахождении производной от данной функции).

Условие существования неопределенного интеграла: У всякой непрерывной на данном интервале функции существует неопределенный интеграл.

Основные свойства неопределенного интеграла

 dF (x) = F (x) + С;
d  f (x) dx = f (x) dx;
  f (x) dx =   f (x) dx, где   0, т. е. постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла;
 ( f (x)  g (x) ) dx =  f (x) dx   g (x) dx , т. е. неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме неопределенных интегралов от этих функций;
Если  f (x) dx = F (x) + С, то  f (  x + b ) dx = F ( x + b) + С , где  ≠ 0;

6. Инвариантность формулы интегрирования: если  f (x) dx = F (x) + С,

то и  f (u) dx = F (u) + С, где u =  (x) произвольная функция, имеющая

непрерывную производную.

Пример.  sin x dx = cos x + C и  sin (sinx) d (sinx) = cos (sinx) + C.

Данное свойство используется для вычисления интегралов с помощью метода «введения под знак дифференциала».

Т аблица неопределенных интегралов (табличные интегралы)

Иногда к этому списку добавляют еще несколько интегралов:

Интегралы, полученные из табличных линейным сдвигом аргумента (т.е. ax + b ), например, интегралы вида  cos 3x dx,  ,  e ⁷^x⁺¹ dx, … , называются почти табличными интегралами.

2. Основные методы интегрирорования

2.1. Метод непосредственного интегрирования

Данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Примеры.

1. = || табл. интеграл 2 (α = -3) || = = + C = + C = – + C .