Критерії перевірки гіпотез.

9.2.1. Критерій .

Критерій був запропонований Пірсоном в 1903Р., хоча повністю цей метод був запропонований Фішером, який опублікував в 1924р. відповідні таблиці критичних величин, які використовуються в даний час. Статистика визначається наступним виразом:

, де

f0 – частота, яка спостерігається для кожної групи або інтервалу;

fe – очікувана частота для кожної групи або інтервалу.

Сума по k - це передбачена теоретичним розподілом сума по всіх групах або інтервалах.

Якщо = 0, то спостерігаємі і теоретично передбачені значення частот точно співпадають.

Якщо > 0, то повного співпадіння немає. Чим більше , тим більше розходження між спостерігаємими і очікуваними значеннями. Для того щоб оцінити наскільки спостерігаємі дані визначаються тільки випадковими величинами, слід порівнювати розрахункові значення з табличними значеннями . Значення статистики табульовані для різних степенів вільності і різних рівнів довірчої ймовірності 1- , де - рівень значимості. При практичному використанні цієї статистики висувається так звана нульова гіпотеза Н₀ про те, що між спостерігаємим і очікуваним розподілом з тими самими параметрами немає значних відхилень. Якщо при перевірці цієї гіпотези розрахункова величина виявляється більшою критичного табличного значення для даного рівня довірчої ймовірності і відповідного числа степенів вільності, то можна заключити, що при даному рівні довірчої ймовірності спостерігаємі частоти значно відрізняються від очікуємих, і тоді слід було б відкинути гіпотезу H₀.

При застосуванні метода перевірки гіпотез по критерію слід пам'ятати наступне:

1. відносні значення частот або їх значення, які вираженні в %, брати не можна. Повинні використовуватися дані прямих спостережень або абсолютні значення частот ;

2. значення спостерігаємих частот для кожної групи або інтервала повинні бути не менше 5 ;

3. число степеней вільності задається виразом ν=k-1-m , де

k - кількість груп або інтервалів ;

m - число параметрів, які визначаються дослідним шляхом або на основі вибіркових даних для обчислювання очікуваних значень частот.

Розглянемо приклад.

Перевіряються дані таблиці для дискретної величини на відповідність розподілу Пуасона при довірчій ймовірності 0.95

, де Px(n) – ймовірність наступлення n подій; е=2.71828; λ – додатня частота, яка одночасно є середнім значенням і дисперсією.

Було підраховано, що λ = 0.5577, тому гіпотеза H₀ формулюється наступним чином: не має суттєвих відмінностей між спостерігаємими даними і даними, які отримуються із закону Пуасона з математичним очікуванням або середнім λ = 0.5577. Підставивши значення λ і послідовність n=0,1,2,... отримаємо наступні результати:

Для отримання fe множимо відповідну величину P(n) на 509. Розрахункова величина = 5.10. Для довірчої ймовірності 0.95 і числа ступеней вільності ν=4-1-1=2 знаходиться = 5.99. Таким чином, оскільки розрахункова величина < табличного критичного значення , ми не відкидаємо гіпотезу H₀. Останні 3 групи значень були об'єднані з тим, щоб отримати значення частоти принаймні = 5 в кожній групі. Таким чином, замість вихідних 6 груп отримано 4. При визначенні числа ступеней вільності значення зменшено на 1, бо для розрахунку очікуваних частот використовується величина λ, яка отримана з даних спостережень.