Лекція 9. Аналіз даних випадкових величин.

1.Ідентифікація закону розподілу.

При моделюванні виникає проблема: як перевірити сумісність експериментальних даних з деяким теоретичним розподілом. Іншими словами, чи відповідає частота спостерігаємих вибіркових значень тій частоті, з якою вони повинні були би з'являтися при деякому імовірнісному розподілі, який відповідає теоретичному закону? Якщо частота спостерігаємих подій (значень вимірюваної величини) близька до величини, яка передбачається теорією, то в подальшому можна будувати модель вихідних або очікуваних подій на основі теоретичного розподілу. Зібрані дані сумуються у вигляді розподілу відносних частот (гістограми). Якщо ми маємо справу з дискретною змінною, то записуємо частоти появи кожного з її можливих значень. Якщо змінна неперервна, розбивається весь діапазон її значень на рівні інтервали або групи і записуються частоти появи кожної групи. Кількість груп беруть в межах від 5 до 20 в залежності від конкретних даних. Тоді відносна частота для кожної групи дорівнює частці від ділення спостерігаємої кількості подій даної групи на загальну кількість подій. 

Розподіл тижневої продуктивності  (неперервна величина).

тижнева продуктивність частота Р(х) <46 1 0,008 46 – 55 1 0,008 56 – 65 3 0,025 66 – 75 7 0,058 76 – 85 11 0,092 86 – 95 21 0,175 96 – 105 28 0,234 106 – 115 16 0,134 116 – 125 22 0,183 126 – 135 7 0,058 136 – 145 1 0,008 146 – ≥ 2 0,017 сума 120 1,000

Розподіл відносних частот телефонних запитів за годину  (дискретна величина)

число запитів N число інтервалів год. відносна частота 0 315 0,619 1 142 0,279 2 40 0,078 3 9 0,018 4 2 0,004 5 1 0,002 сума 509 1,000

Рис. 8.1. Гістограма неперервної випадкової величини.

Рис. 8.2. Гістограма дискретної випадкової величини

    Після побудови гістограми підбирають для даного випадку теоретичний закон розподілу ймовірностей.     Порівнюючи гістограму дискретної величини можна зробити висновок, що вона схожа на закон Пуасона (рис. 8.2), а гістограма неперервної величини – на нормальний розподіл (рис. 8.1). Візуальне порівняння дає можливість зробити припущення відносно подібності до теоретичного розподілу і не дає достатніх обгрунтувань, щоби остаточно прийняти деяку гіпотезу. Після вибору відповідного розподілу слід визначити параметри розподілу з тим, щоб піддати їх перевірці по статистичним критеріям. Якщо передбачений розподіл є функцією двох параметрів, останній вдається оцінити на основі вибіркового середнього і вибіркової дисперсії. Коли експериментальні дані розбиті на групи, середнє і дисперсію можна обчислити по формулах:

      - середнє k - кількість груп (інтервалів вибірки);       - дисперсія;      - повний об'єм вибірки;     Mi - середня точка i-того інтервалу або для дискретних даних - значення i-тої групи;     Fi - частота появи i-тої групи або i-того інтервалу. Розрахунки статистичних параметрів:

Для дискретної величини:

Мі Fi МіFi Мі2Fi 0 315 0 0 1 142 142 142 2 40 80 160 3 9 27 81 4 2 8 32 5 1 5 25 сума 509 262 440

Оскільки середнє дорівнює дисперсії для теоретичного розподілу, то  .

Для неперервної величини:

Мі Fi МіFi Мі2Fi 40,5 1 40,5 1640,25 50,5 1 50,5 2550,25 60,5 3 181,5 10980,75 70,5 7 493,5 34791,75 80,5 11 885,5 71282,75 90,5 21 1900,5 171995,25 100,5 28 2814,5 282807,00 110,5 16 1768,0 195364,00 120,5 22 2651,0 319445,50 130,5 7 913,5 119211,75 140,5 1 140,5 19740,25 150,5 2 301,0 45300,50 сума 120 12140,0 1275110,00