Лекция 7. Описание случайных процессов и полей

Цель лекции: Изучить вероятностные характеристики случайных процессов, плотность распределения вероятностей, функции распределения, моментные и корреляционные (кумуляжные) функции. Ознакомиться с следящими полями и их характеристиками.

• ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ (ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ), ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Основные понятия и термины.

Так, как случайный процесс ξ(t) или скалярное случайное поле ξ(х,у) при фиксированных значениях аргументов представляет собой случайные величины, то для их описания (задания) применяются те же вероятностные характеристики, что и для случайных величин, а именно:

- плотности вероятности (законы распределения);

- функции распределения вероятностей

- характеристические функции;

- моментные и корреляционные (кумулятные) функции.

Допустим, имеется большое число N полностью одинаковых систем. Пусть все системы работают одинаково при одинаковых условиях. Подключение к каждой системе регистрирующее устройство (осциллограф). Определить момент времени t₁ и определим случайные величины х⁰(t₁) х²(t₁) … хⁿ(t₁) → это случайные величины процесса ξ(t) в момент времени t₁

Выделим из общего числа N те n (х₁, t₁) величины, значение которых в момент времени t₁ меньше или равны заданному числу t₁. При достаточно большом N относительная доля n₁ (х₁, t₁)/ N величина (система) удовлетворяющих этому условию, будет обладать статистической устойчивостью (группируется около постоянного числа). Тогда вероятность того, что при t = t₁ случайная функция ξ(t) находится ниже уровня х₁

Р (ξ < х₁) = F(х₁, t₁) = n₁ (х₁, t₁)/ N [7.1]

при N→∞

Определение 57. Функция F(х₁, t₁) – называется одномерной функцией распределения вероятностей и показывает вероятность попадания случайной величины ниже уровня х₁ при t = t₁

Определение 58. Одномерной плотностью распределения вероятностей называется производная от функции распределения вероятностей

р (х_1; t₁) = [7.2]

Безразмерная величина р (х_1; t₁)dх₁ равна вероятности того, что случайная величина ξ(t₁) будет заключена в интервале

х₁ ≤ ξ(t₁) < х₁ + dх₁

р (х_1; t₁) dх₁ = р {х₁ ≤ ( t₁) < х₁ + dх₁} [7.3]

Одномерная плотность вероятности, как и функция распределения вероятностей является важной но не полной характеристикой случайного процесса. Она дает представления о процессе лишь в фиксированный момент времени t₁ и не указывает как значение ξ(t₁) в момент времени t₁ влияет на поведение процесса при t₂ > t₁. Следовательно, одномерная плотность вероятности характеризует процесс статически и не дает представления о динамике его развития. Более полной характеристикой случайного процесса являются двумерные функции.

Рассмотрим два момента времени t₁ и t₂ и зафиксируем значения ξ(t) в два эти момента. Тогда значения случайного процесса определяться как::

х¹( t₁) ; х⁽²⁾( t₁)… ; х^(N)( t₁) и

х¹( t₁) ; х⁽²⁾( t₂)… х^(N)( t₂) [7.4]

Подсчитаем относительную долю систем n₁ (х₁, х₂, t₁, t₂)/ N отсчеты которых в момент времени t₁ не превышают х₁ и в момент времени t₂ не превышает х₂. Функция F₂ (х₁; х₂ ; t₁ ; t₂) – называется двумерной функцией распространения вероятностей и равна:

F₂ (х₁; х₂ ; t₁ ; t₂) = р { ξ( t₁) < х₁; ξ ( t₂) < х₂ n₂ (х₁; х₂ ; t₁ ; t₂)/N [7.5]

Определение 60. Двумерной функцией распределения вероятности называется функция

р₂ (х₁; х₂ ; t₁ ; t₂) = [7.6]

Безразмерная величина р₂ (х₁; х₂ ; t₁ ; t₂) dх₁ dх₂ определяет вероятность совместного выполнения двух неравенств:

х₁ ≤ξ (t₁) < х₁ + dх₁

х₂ ≤ξ (t₂) < х₂ + dх₂ т.е.

р₂ (х₁; х₂ ; t₁ ; t₂) dх₁ dх₂ = Р {х₁ ≤ξ (t₁) < х₁ + dх₁; х₂ ≤ξ (t₂) < х₂ + dх₂} [7.7]

В общем случае двумерная функция распределения или плотность вероятности также не дают исчерпывающего описания случайного процесса. Она позволяет судить о связи между вероятными значениями случайного процесса лишь в два момента времени. Более полное и детальное описание случайного процесса дается многомерными плотностями вероятности (функциями распределения).

Многомерные характеристики позволяют судить о случайном процессе в n произвольных момента времени. Процесс описывается тем детальнее, чем больше n. Таким образом, многомерные плотности распределения вероятностей

Р_n (х₁; х₂; х_n ; t₁ ; t_{2 :} t₃ ; t_n)

и функции распределения вероятностей

F_n (х₁; х₂ ; … х_n; t₁ ; t₂ ;t₃ … t_n )

случайного процесса ξ (t) полностью аналогичные совместным плотностям вероятностей

Р_n (х₁; х₂… х_n) и функциям распределения вероятностей

F_n (х₁; х₂ ; … х_n)

для многомерных случайных величин за исключением некоторой разницы в обозначениях. Связь между ними определяется аналогично как и для одномерных и двумерных случайных величин и формулами [4.15] [4.16]. Таким образом исчерпывающее описание случайного процесса дает n – мерная плотность вероятности, при этом n – неограниченно. Однако при непрерывном изменении времени t , максимального порядка случайной величины практически не существует, т.е. многомерную плотность вероятности определить невозможно. Имеются два частных случая случайных процессов, которые будут изучены несколько позже. Это когда n-мерная плотность вероятностей р_n; n≥3 выражаются через двумерные плотности вероятности р₂ – это дауссовские, марковские случайные процессы. Определение функций распределения и плотностей вероятностей распространяется и на случайные поля.

Для случайных процессов и полей можно ввести условные плотности вероятности.

Определение 61. Пусть имеется случайное значение процесса ξ (t₂) = х₂ в момент времени t₂, тогда случайное значение процесса ξ (t₁) в момент времени t₁ описывается условной плотностью вероятности

р (х₁; t₁ /х₂ ; t₂ ) = где

Р₁ (х₂ ; t₂ ) = [7.8]

Условная плотность вероятности р (х₁; t₁ /х₂ ; t₂ ) → содержит больше ( по крайне мере не меньше) сведений о ξ (t₁), чем безусловная плотность вероятности р₁ (х₁; t₁). Насколько именно увеличилась информация о ξ (t₁) в результате того, что стало известным значение ξ (t₂) = х₂, зависит от конкретных условий. В некоторых случаях информация вообще не прибавляется

р (х₁; t₁ /х₂ ; t₂ ) = р (х₁; t₁) [7.9]

При этом р₂ (х₁; х₂; t₁ ; t₂ ) = р (х₁; t₁ ) р( х₂ ; t₂ )

Формула [7.9] выражает необходимое и достаточное условие независимости значений случайного процесса ξ (t) в два момента времени t_{1 и} t₂.

При (t₁ - t₂) →∞ имеем физические процессы с конечной «памятью» т.е. выражение [7.9] выполняется в полном объеме.

В противном случае при (t₁ - t₂) → ∞

где

- дельта функция

Тогда р₂ (х₁; х₂; t₁ ; t₂ ) = р₁ ( х₂ ; t₂ ) δ(х₁ – х₂)

Между этими двумя крайними суммами возможно большое число промежуточных случаев.