Лекция 11. Функциональные преобразования случайных величин и процессов

Цель лекции:

• КЛАССИФИКАЦИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Основные определения и термины.

Любое радиотехническое устройство обычно состоит из комбинаций линейных и нелинейных звеньев (каскадов). К линейным звеньям можно отнести усилители, фильтры, длинные линии и др. К числу нелинейных относятся все автоколебательные системы, автогенераторы, дискриминаторы, смесители, умножители, модуляторы, ограничители, триггеры и др.

К чисто линейным системам приходим, как правило в результате упрощений, допустимых лишь при определенных условиях. Точное указание области, где допустимы линеаризация характеристики, для случайных сигналов является более сильной задачей, чем для детерминированных процессов. При выяснении возможности линеаризации необходимо учитывать, что хорошая аппроксимация характеристики должна быть на том участке, где имеет место достаточно большая вероятность пребывания случайного сигнала. Применительно к гаусовским случайным процессам часто стремятся подобрать хорошую апроксимацию в интервале ± 1,5σ около математического ожидания (вероятность пребывания 0,87), где σ – среднее квадратическое значение процесса. Часто применяют три вида аппроксимации: полиномоле, ломанной линией и трансцендентными функциями.

Запишем в общем случае преобразование случайного процесса ξ(t)

η(t) = Т [ ξ(t)] [11.1]

Такая запись означает, что каждой реализации ξi(t) процесса ξ(t), по правилу определяемому оператором τ, ставится в соответствие некоторая выходная реализация ηi(t) процесса η(t). Тогда ξ(t) – есть случайный процесс на входе системы, η(t) – процесс на выходе системы, Т – оператор системы, определяется самой системой.

Оператор Т (преобразование) может быть детерминированным и случайным.

Определение Преобразование Т называется детерминированным, если каждой конкретной реализации ξi(t) входного процесса ξ(t) соответствует вполне определенная реализация ηi(t) выходного процесса ηi(t)

Определение Преобразование Т называется случайным, если одной и той же реализации ξi(t) могут соответствовать разные реализации ηi(t) и ηj(t) причем ηi(t) ≠ ηj(t)

В дельнейшем будем рассматривать в основном детерминированные преобразования Т. Среди преобразований общего вида различают линейные и нелинейные преобразования в зависимости от характера самой системы.

Обычно возникает на практике 2 вида задач

1. Известны характеристики случайного процесса ξ(t): математическое ожидание и корреляционная функция. Требуется найти аналогичные характеристики выходного процесса η(t). Т.е. по заданным характеристикам случайного процесса на входе динамической системы найти характеристики случайного процесса на выходе.

Поставленная задача может быть решена совершенно точно в одном частном, но весьма важном для практики случае: когда преобразование Т принадлежит к классу линейных преобразований и соответственно система принадлежит к классу линейных систем.

2. Вторая задача более сложная зная характеристики случайного процесса на входе системы необходимо получить оптимальную систему Т, которое воспроизводит входной процесс с минимальными ошибками.

В дальнейшем в основном будем рассматривать преобразования характеристик случайных процессов применительно к решению первой задачи, для чего рассмотрим понятие оператора динамической системы.

• ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ОПЕРАТОРЫ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Основные определения и термины.

Понятие операторы является обобщением понятия функции. Когда мы устанавливаем функциональную связь между двумя переменными у и х, то пишем

у = ƒ(х) [11.2]

под символом ƒ понимаем правило, по которому заданному значению х приводится в соответствие вполне определенное значение у. Значение ƒ есть символ некоторого преобразования, которому нужно подвергнуть величину х, чтобы получить у.

Аналогичное понятие и соответствующая символика применяются в математике и в тех случаях, когда преобразованию подвергается не величина, а функции.

Например:

у(t) = А {х(t)} [11.3]

т.е. по определенному правилу А, функция х(t) преобразуется в функцию у(t)

Примером может служить:

- дифференцирование [11.4]

- интегрирование [11.5]

Применительно к ранее введенным обозначениям.

Определение Правило Т, согласно которому функция ξ(t), преобразуется в функцию η(t) будем называть оператором, т.е. оператор дифференцирования, интегрирования, оператор решения дифференциального уравнения и .т.д.

При анализе ошибок динамических систем наиболее естественными аргументами являются время t, то ограничимся рассмотрением операторов, преобразующую одну функцию аргумента t в другую функцию того же аргумента. При этом оператор носит название оператора динамической системы.

Преобразования или операторы, применяемые к функциям, могут быть различных типов (линейные, нелинейные и т.д.)

Наиболее важным для практики является класс линейных операторов.

Определение Оператор Т называется линейным однородным, если он обладает следующими свойствами.

1. К сумме функций оператор может применяться почленно.

Т{ξ₁(t) + ξ₂(t)} = Т{ξ₁(t)} + {ξ₂(t)} [11.6]

2. Постоянную величину можно выносить за знак оператора

Т{сξ(t)} = сТ{ξ(t)} [11.7]

Справедливо также свойство Т{0} = 0

Примеры линейных операторов:

1. Оператор дифференцирования [11.8]

2. Оператор интегрирования [11.9]

3. Оператор умножения на функцию [11.10]

4. Оператор интегрирования с заданным весом [11.11]

Пусть имеем динамическую систему Т которая описывается линейным дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами, связывающую реакцию системы η(t) с бездействием ξ(t)

В обычной формуле данное уравнение имеет вид:

[11.12]

Запишем оператор дифференцирования как формула [11.12] будет иметь вид с учетом многочленов относительно р.

[11.13]

[11.14]

[11.15]

или

[11.16]

Определение Динамическая система, оператор которой является линейным, называется линейной динамической системой

Существуют также нелинейные операторы. Примерами которых могут служить

; ; [11.17]

Определение Динамическая система, оператор которой не является линейным, называется нелинейной системой

Напомним основные методы, которые используются при анализе прохождения сигналов через радиоэлектронные цепи.

Для простейших цепей, описываемых дифференциальными уравнениями не выше второго порядка, задачу обычно нетрудно решить классическим методом.

Для сложных цепей значительно удобнее методы, основанные на спектральном представлении сигнала: метод интеграла Фурье и тесно с ним связанный операторный метод (преобразования Лопласа). Наряду со спектральным методом в радиоэлектронике часто используется метод интеграла наложения, сводящийся к свертке входного сигнала с импульсной характеристикой цепи.