Лекция 1. ВВЕДЕНИЕ

Предмет и задачи дисциплины. Элементы теории вероятности и математической статистики.

Цель лекции: Изучить особые задачи, решаемые дисциплиной «Статистическая радиотехника». Дать определение случайного события, понятие вероятности о геометрической интерпретации.

• ПРЕДМЕТ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

«СТАТИСТИЧЕСКАЯ РАДИОТЕХНИКА»

По дисциплине предусмотрено:

Лекций – 48 часов – 24 лекции

Практические занятия – 4 часа – 2П3

Лабораторные работы – 12 часов – 3 лаб.раб по 4 часа.

Самостоятельная работа – 20 часов

Всего по дисциплине – 84 часа

Зачет – 8 семестр.

Основное и общее требования к любой радиотехнической системе, состоит в достоверном и своевременном получении большого объеме информации из излучений с ограниченной энергетикой.

Достоверному приему информации по реальным радиоканалам препятствуют:

1. – случайные искажения полного радиосигнала при распространении через турбулентную атмосферу.

2. – наличие разнообразных внутренних и внешних помех.

3. – техническое несовершенство радиотехнических устройств.

Внешние помехи принимаются приемной антенной в месте с полезным сигналом. Они создаются естественными электромагнитными процессами. Кроме внешних помех, имеются внутренние помехи, локализованные в различных элементах радиотехнических устройств. Таким образом, задача радиоприема сводится к наилучшему восстановлению информации по искаженному радиосигналу, который в общем случае носит следующий характер. Многие задачи радиотехники становятся бессодержательными без учета наличия помех и случайного характера принимаемого сигнала. Математический аппарат, позволяющий описывать и оперативно со случайными величинами и случайными процессами, дает теория вероятностей и математическая статистика.

В статистической радиотехнике можно выделить две главные задачи:

1. Задача анализа

2. Задача синтеза радиотехнических устройств и систем.

Задача анализа: Предполагается известными необходимыми характеристика сигнала и помехи, необходимо получить требуемые количественные характеристики рассматриваемого радиоустройства или системы.

Поскольку радиоустройства представляют собой различные комбинации линейных и нелинейных звеньев, то задача по существу сводится к анализу прохождения сигнала и шума через линейные и нелинейные устройства.

Задача системы: Предполагая априорно (до опыта) (заранее) известными некоторые характеристики передаваемого полезного сигнала, канала и помех, а также их функциональное взаимодействие, необходимо получить оптимальное радиоприемное устройство, которое воспроизводило персональное сообщение или принимало решение с наименьшими ошибками.

Условно можно указать несколько основных направлений, по которым развивалось изучение случайных явлений в радиотехнике.

1. Анализ внутренних флюктационных шумов в элементах радиоустройств (дробовой шум полупроводниковых приборов, тепловой шум резисторов и т.д.)

2. Изучение статистических характеристик внешних помех (атмосферные шумы, активные и пассивные преднамеренные помехи и т.д.)

3. Анализ влияния флюктационных шумов и внешних помех на работу радиоаппаратуры и в частности, на качество радиоприема, изыскания методов уменьшения влияния шумов и помех.

4. Исследование искажений радиосигналов при их распространении в различных условиях.

5. Синтез радиоэлектронных систем и устройств. Это направление в течение последних 30 лет стало одним из основных. С развитием элементной базы и внедрением цифровых методов отработки, позволяющих реализовать сложные алгоритмы приема, синтез радиоэлектронных систем превратился в непосредственный инструмент разработки оптимальных приемных устройств.

Используемая литература

[1] Тихонов В.И. «Статистическая радиотехника» М.: Радио и связь 1982

[2] Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. «Статистическая радиотехника» Примеры и задачи.

[3] Пискунов Н.С. «Дифференциальные и интегральные исчисления» М.: Издательство «Наука» 1976

[4] Левин Б.Р. «Теоретические основы статистической радиотехники» Книга первая М,: Сов. радио, 1974.

• ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

2.1. Вероятность, случайные события. Основные понятия и термины

1. Случайное событие (СС)

2. Относительные частоты (частота) СС

3. Вероятность СС

4. Теория вероятности

Изучение вероятностных закономерностей различных случайных событий – является предметом теории вероятностей (ТВ) Основными понятиями теории вероятности является случайное событие.

Определение: 1. Случайным событием называются такие события, которые при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти.

Примеры: бросание монеты

попадание в мишень при стрельбе

бросание игральных костей и т.д.

Определение: 2. Относительной частотой или частотой СС А называется отношение смена m появления данного события к общему числу n проведенных одинаковых испытаний, в каждом из которых могло появиться данное событие.

υ = = Р(А) [1.1]

Пример: 1. Одинаковые условия, 6 выстрелов по цели, из них 3 попадания. Определить относительную частоту υ ?

υ = = = 0,5

2. Бросание монеты 10 бросаний, 5 раз появление герба: Определить υ ?

υ = = = 0,5

Очевидно, если увеличить число испытаний n то относительная частота будет стремиться к некому постоянному числу и не будет носить случайный характер. Опыт показывает, что в подавляющем большинстве случаев существует постоянное число Р такое, что относительная частота появления события А при большом числе испытаний (кроме редких случаев) мало отличается от этого числа Р или символически

Р [1.2]

Определение: 3. Число Р называется вероятностью появления случайного события А.

Р(А) = Р [1.3]

Вероятность Р – является объективной характеристикой возможности появления события А. Таким образом, При неограниченном увеличении числа опытов n, относительная частота υ события А сходится к вероятности Р появления этого события. Случайные события А могут носить, как простой, так и сложный характер.

2.2. Непосредственный подсчет вероятностей. Сложение вероятностей. Противоположные случайные события

Основные понятия и термины.

1. Несовместимые случайные события

2. Полная группа случайных событий

3. Равновозможное случайное событие. Случай (шанс)

4. События благоприятствующие. Классическое определение вероятно.

5. Достоверное событие

6. Невозможное событие

7. Сумма двух событий А₁ и А₂ (несовместимых событий)

8. Противоположные события

9. Совместные случайные события А и В их сумма

10. Геометрическая вероятность

Для подсчета и определения численного значения вероятности р необходимо, в первую очередь проанализировать непосредственно условия испытания.

Пример: Бросание игровой кости, 6 граней появление любой из 6 числа, очевидно равновозможно, при одинаковых условиях испытания. Определить вероятность появления одного из чисел на грани игральной кости. При большом бросании n кости, можно ожидать, что любое из 6 чисел появится на верхней грани примерно раз. Относительная частота близка υ = Вероятность появления на верхней грани любого из шести чисел Р =

Определение 4. События при которых появление того или иного исхода, из любого их числа одинаково возможных исходов равновероятно – называют равновозможными случайными событиями.

Пример: Бросание монеты, игральных костей и т.д.

Проанализировав случайное событие, мы можем рассчитать непосредственно вероятность его появления. Введем следующие понятия, которые будут нам необходимы для анализа случайных событий.

Определение 5. Несовместными случайными событиями в данном испытании называются события, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Пример: Бросание 1 монеты и появление «решка» «герб» одновременно, появление числа 2 и 6 одновременно на одном кубе игральной кости и т.д.).

Определение 6. Случайные события образуют полную группу, е6сли при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, необходимое с ними.

Пример: Бросание монеты выпадание «герб» и «решка» - полная группа событий, постановка монеты на «ребро» или зависание ее в воздухе – весьма проблематично - Выпадание «герба» или «решка» - полная группа событий при n – испытаниях.

Определение 7. События называются случайными (шансами) если они образуют полную группу равновозможных, несовместимых случайных событий.

Пример: Бросание монеты. Шанс выпадания «герба». Бросание игральной кости. Случай выпадания цифры 6 - ?

Определение 8. Событие (случай, шанс) называется благоприятствующим появлению события А, если имеем полную группу равновозможных несовместных случайных событий, и если появление данного случая ведет (влечет) за собой появление события А.

Исходя из определений 5,6,7,8 дадим определение вероятности события А, которое носит название - классическое определение вероятности.

Определение 9. Вероятностью Р события А называется отношение числа m благоприятствующих случаев, к числу всех возможных случаев n, образующих полную группу равновозможных несовместимых событий

Р(А) = Р = [1.4]

Определение 10. Если какому-либо событию благоприятствуют все n случаев образующих полную группу равновозможных несовместных событий, то такое событие называется достоверным, вероятность достоверного события Р=1

Пример: В колоде из 36 карт все карты «тузы». Какова вероятность вытащить с первого раза «туза»?

Р = - событие достоверное.

Определение 11. Событие, которому не благоприятствует ни одно из n случаев, образующих полную группу равновозможных несовместимых событий, называется невозможным; его вероятность Р=0

Пример: Вытащить из колоды из 36 карт «короля» если в колоде все «тузы»

Р = - событие невозможное

Таким образом, вероятность удовлетворяет соотношению

0 ≤Р≤1 [1.5]

Пример: Из колоды в 36 карт вынимается одна карта. Какова вероятность появления карты пиковой масти?

Решение: Всего карт от случаев 36 n=36, число карт пиковой масти 9, а значит событие А – появление пиковой масти определяется вероятностью

Р=

где n – число равновозможных (возможных) случаев

m – число благоприятствующих случаев.

Пример: Бросают одновременно 2 монеты. Какова вероятность выпадания герба на обеих монетах (двух гербов)?

Решение:	1 монета	2 монеты
1 случай	герб	герб
2 случай	герб	не герб
3 случай	не герб	герб
4 случай	не герб	не герб

Анализируя таблицу видно, что всего имеем четыре равновозможные, несовместимые случаи, которые образуют полную группу событий, из всех четырех для условий задачи благоприятствует 1. Отсюда →

Р= = 0,25

Рассмотрим не одно СС А а два А₁ и А₂

Определение 12. Суммой двух событий А₁ и А₂ называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Рассмотрим два несовместимых события А₁ и А₂. Тогда справедлива следующая теорема, которая называется теоремой для сложения вероятностей

Теорема 1. Пусть при данном испытании (увлечении, опыте) могут иметь место случаи случайное событие А₁ с вероятностью Р(А₁) и событие А₂ с вероятностью Р(А₂). События А₁ и А₂ несовместимы. Тогда вероятность суммы событий, т.е. того, что производит или событие А₂ или событие А₁ определяется

Р(А₁ + А₂) = Р (А₁ или А₂) = Р(А₁) + Р (А₂) [1.6]

или Р(А₁) = Р(А₂) =

Р (А₁ или А₂) = + = = Р(А₁) + Р (А₂)

Пример: Бросаем монету А₁ – «герб»

А₂ – «решка»

События несовместимы, равновозможны; образуют полную группу. Определить выпадание «решки»?

Р(А₁ + А₂) = ?

Всего возможных случаев n = 2 (орел или решка) события несовместимы

Р (А₁ или А₂) = + = 0,5

В случае если имеем не 2 а n несовместимых событий, то их сумма определяется как:

Р(А₁) + Р(А₂) + Р(А₃)+ … + Р(А_n) [1.7]

или

[1.8]

Определение 13. Два события называются противоположными, если они несовместимы и образуют полную группу.

Обозначают:

А – событие; - противоположное событие

Р(А) – вероятность появления события А; Р(А) = Р

Р( ) – вероятность появления противоположного события

Р( ) = g

При испытании происходит обязательно событие А

Р(А) + Р( ) = 1 [1.9]

или р + g = 1

т.е. сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Пример: Один выстрел по мишени. Попадание событие А, промах событие

Если случайные события А₁ А₂ …А_n образуют полную группу несовместимых событий, то

Р(А₁) + Р(А₂) + Р(А₃)+ …А_n = 1 [1.10]

т.е. происходит обязательно при испытании (опыте) одно из n событий.

Определение 14. Случайные события А и В называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события, т.е. произойдет совместное событие А и В.

Обозначают: (А и В) или (А В).

Теорема 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле

Р(А или В) = Р(А) + Р(В) – Р(А и В) [1.11]

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию формулы [1.11]

Дано: Квадрат со сторонами 1 х 1 показание в который точки достоверно Р = 1

Внутри квадрата имеем взаимопересекающиеся

области А и область В. Площадь суммы двух А и В площадей (общая площадь) равна S = а в с d е

Площадь взаимного пересечения А и В равна . Тогда вероятность показания точки в области именующую S.

Площадь равна: Р = [1.12]

Рис. 1.1.

Определение 15. Вероятность определяемую соотношением [1.12] называют геометрической вероятностью и связана она с площадью пересечения двух площадей А и В и их общей площадью.

Для вероятностей имеем:

Р (А или В) = попадание т в пл. а в с d a

Р (А) = попадание т в пл. a в f d a

Р (В) = попадание т в пл. в с d е в

Р (А и В) = попадание т в пл. d е в f d

Исходя из свойств площадей имеем следующее равенство

пл. а в с d a = пл. a в f d a + в с d е в - d е в f d

или Р(А или В) = Р(А) + Р(В) – Р(А и В) т.е. получим формулу [1.11]

Аналогично выносится вероятность суммы любого числа совместимого случайного событий.

В общем случае Р(А) = mes / mes S где [1.13]

5 и 6 могут иметь другую размерность и оцениваться мерой (длинной, площадью, объемом).

Лекция 2. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ, ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ