12.7. Частотные характеристики и частотный критерий устойчивости.
Для решения задачи устойчивости и оценки качества переходных процессов ракет как объектов автоматического регулирования широко используются их частотные характеристики.
Пусть задано движение органа управления ракеты, имеющее гармонический характер. Например,
.
Через некоторое
время(после того, как затухнут собственные
колебания) ракета будет совершать
вынужденные колебания с частотой
.
Колебания корпуса ракеты вызывают на
входе системы стабилизации сигнал
.
При фиксированной
величине
амплитуда колебаний
и сдвиг по фазе
являются функциями
частоты
.
Функцию
называют
амплитудно–частотной
характеристикой,
а
– фазочастотной
характеристикой
ракеты.
Функции
и
определяют
амплитудно – фазовую частотную
характеристику (АФЧХ) или просто частотную
характеристику.
Одним из преимуществ методов, основанных на использовании частотных характеристик, является то, что частотные характеристики могут быть определены из эксперимента с моделью ракеты, когда её свойства выразить дифференциальными уравнениями ещё не удаётся.
Если известна передаточная функция ракеты W(p), то, подставляя p = i ω, получим выражение амплитудно-фазовой частотной характеристики:
В ряде случаев частотные характеристики представляются в виде годографа на комплексной плоскости Z = U + iV, причём:
;
U(ω) = A(ω)cos(φ(ω)); V(ω) = A(ω)sin(φ(ω)) .
Фиг.83
Любая точка годографа функции W(iω) комплексное передаточное число, в котором A(ω) – модуль комплексного числа, φ(ω) – аргумент комплексного числа.
Устойчивость или неустойчивость разомкнутой цепи не дают основания делать заключение об устойчивости замкнутой системы, состоящей из тех же звеньев, так как характеристическое уравнение разомкнутой цепи Q(p) отличается от характеристического уравнения замкнутой системы
Q(p) + R(p) = 0.
Устойчивой разомкнутой цепи может соответствовать неустойчивая замкнутая система и наоборот.
В дальнейшем будем применять частотный критерий Найквиста, который даёт возможность оценить устойчивость замкнутой системы по годографу – амплитудно-фазовой характеристики соответствующей разомкнутой цепи.
При составлении уравнений возмущённого движения за положительное было принято такое направление управляющей силы. Которое вызывает уменьшение отклонения углов υ, ψ, γ. В этом случае в формулировках критерия Найквиста используется положительная вещественная полуось (фиг.83) и точка С на этой полуоси с координатами (1, io).
Сформулируем критерий Найквиста для случая, когда степени характеристического полинома замкнутой системы и разомкнутой цепи одинаковы.
Для устойчивости замкнутой линейной системы необходимо и достаточно, чтобы при движении точки N вдоль годографа разомкнутой цепи при 0 ≤ ω ≤ +∞ вектор СN совершал поворот на угол φ = mπ (против часовой стрелки). Здесь m – число корней с положительными вещественными частями в характеристическом уравнении разомкнутой цепи.
Например, годограф радиуса-вектора CN свидетельствует об устойчивости замкнутой системы, характеристическое уравнение разомкнутой цепи имеет один корень с положительной вещественной частью, то есть если m = 1. Наоборот, если система неустойчива m ≠ 1