8.4. Пограничный слой и сопротивление трению плоской пластины в несжимаемой среде для ламинарного режима течения.

Рассмотрим случай продольного обтекания плоской пластины, сведения о толщине ПС и сопротивлении трения которой могут быть использованы для приближенного расчета тонких профилей крыльев.

На верхней границе ПС в этом случае . Тогда из уравнения Бернулли при следует, что и интегральное соотношение (45) принимает вид:

(46)

Приближенно закон распределения скорости по поперечному сечению пограничного слоя можно найти, представив функцию в виде

, (47),

где а, b, с – постоянные коэффициенты, определяемые из граничных условий.

Для пластины граничные условия будут следующими:

а) на нижней границе ПС, т.е. у стенки при

б) на верхней границе ПС при ;

в) на верхней границе ПС отсутствуют силы трения ( ), следовательно, на основании формулы Ньютона при .

Из этих граничных условий находим значения коэффициентов:

(48).

Тогда закон распределения скоростей по поперечному сечению ПС (47)

запишем в виде:

(49).

Воспользуемся формулой Ньютона для определения напряжения трения на стенке:

или (50).

Итак, два дополнительных соотношения (49), (50) совместно с интегральным соотношением (46) позволяют решить задачу о ламинарном пограничном слое на плоской пластине.

Определяя значения интегралов, входящих в уравнение (46) с учетом (49) и (50) будем иметь:

;

.

При этих подстановках с учетом формулы (50) уравнение (46) преобразуется дифференциальное уравнение:

,

которое после разделения переменных принимает вид:

,

Интегрируя это выражение, получим:

(51).

Полагая при х = 0  = 0 (в начале пластины толщина пограничного слоя равна 0), находим, что постоянная С = 0.

Из соотношения (51) следует, что профиль пограничного слоя на внешней границе представляет собой параболу, вершина которой находится в начале координат.

Из уравнения (51) можно найти толщину пограничного слоя  при различных значениях координаты х:

(52),

или

, где .

Из этой формулы, в частности следует, что при t = 0⁰С, p = 760 мм рт. ст., V∞ = 120 м/с, х = 1 м, υ_{воздуха} = 0,1333 ּ10^-4 м²/с толщина пограничного слоя δ = 1,2 мм.

Из формулы (52) видно, что толщина пограничного слоя пропорциональна корню из кинематического коэффициента вязкости υ (т.е. зависит от температуры) и длины пластины X и обратно пропорциональна корню из скорости на верхней границе пограничного слоя, которая в данном случае равна скорости невозмущенного потока V∞.

Подставив полученное значение δ (52) в формулу (50), найдем

(53).

Точное решение задачи о пограничном слое, полученное Блазиусом в результате интегрирования дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости, дает для δ и τ выражения:

; (54).

Характер изменения толщины пограничного слоя и напряжения трения в зависимости от х показан на фиг. 31

Фиг.31. Изменение напряжения трения и толщины пограничного слоя по длине пластины.

Определим силу сопротивления трения Х_тр., действующую на одну сторону пластины шириной b и длиной l. Если на элементарной площадке сила трения равна τ₀ldx, то полная сила трения на пластине определяется интегралом

Подставив в этот интеграл значение τ₀ согласно (54), получим

Умножив числитель и знаменатель подинтегрального выражения на величину , вводя число и учитывая, что , найдем

(56)

или

,

где

(57).

Величина является коэффициентом трения на одной стороне плоской пластины. Коэффициент лобового сопротивления пластины от трения на обе стороны равен:

.

Вывод по разделу 8.4 :

В случае ламинарного пограничного слоя коэффициент трения обратно пропорционален ; чем больше , тем меньше этот коэффициент.