Уравнение баллистики.

Посмотрим, как изменяются уравнения (144)- (149) при отсутствии возмущений и какие соотношения устанавливаются между номинальными параметрами, определение которых и представляет собой предмет баллистики.

Фиг.66 Отсчёт координат от теоретической вершины ракеты.

Наибольшие изменения претерпевает уравнение (146). Т.к. номинальный угол тангажа φ_н изменяется весьма медленно, то в О обращается левая часть уравнения ( ). Так же могут считаться равными О кориолисов момент M_кор и демпфирующий момент М_д, величины которых пропорциональны малой величине , поэтому .

Согласно обозначениям на фиг. 66 получим:

.

Переходя от скоростной системы координат к связанной, в уравнениях (144) и (145) силы X и Y можно заменить осевой X₁ и нормальной Y₁ силами:

; .

Исключая Y_p , получим:

Согласно выражениям (148) и (149) имеем:

и .

Исключая , приводим уравнения к окончательному виду:

Эти уравнения дополняются еще двумя (148):

; .

Уравнения (149) дают:

,

где закон изменения угла тангажа φ(t) в простейших случаях может считаться заданной функцией φ_пр(t), называется программой угла тангажа.

В дополнение к этим уравнениям для окончательного суждения о форме траектории есть выражения ортодромной дальности и местной высоты H=r-R .

Интегрирование полученной системы уравнений дает закон движения ракеты как материальной точки. В результате получаем номинальные параметры траектории центра масс ракеты, определение которых и представляет собой основную задачу баллистических расчетов.

Программа выведения.

Программа выведения – совокупность управляющих функций, которые регламентируют поведение вектора тяги в номинальном движении, задают закон изменения секундного расхода и угловую ориентацию ракеты в пространстве и времени. Программа выведения автономно выполняется системой управления в соответствии с функциями, выбранными на стадии проектирования ракеты.

Эти функции суть: закон изменения расхода и законы изменения углов тангажа φ_пр(t) , рысканья ψ_пр(t) и крена γ_пр(t) на участке выведения.

Рассмотрим пример построения простейшей программы выведения для одноступенчатой ракеты.

Чтобы не устанавливать ракету на старте по линии прицеливания и освободить стартовую систему от тяжелых поворотных механизмов, вводится программа разворота по крену. Ракета на стартовой позиции устанавливается в раз и навсегда принятом положении (ориентация плоскости 1-3 стабилизатор), независимо от направления предстоящего пуска. Азимут вычисляется заранее и передается бортовому запоминающему устройству (БЗУ). После старта ракеты (на вертикальном участке траектории) автомат стабилизации разворачивает ее относительно вертикальной оси на линию прицеливания. На это уходит 10 – 15 сек., после чего начинается разворот ракеты по тангажу.

Угол ψ_пр(t) при старте ракеты с Земли, как правило, равен 0, но чтобы обеспечить, например, падение отделяемых элементов конструкции летательного аппарата в заданный район, может быть введена программа изменения угла рысканья.

Выбор программы выведения представляет собой поиск некоторого оптима. Но на этот поиск наложены ограничения, связанные с конструктивными и эксплуатационными особенностями ракеты.

Баллистические ракеты стартуют вертикально. Из этого вытекает начальное условие для изменения угла тангажа. Необходимо, чтобы при t=0 φ_пр=90^о ,и продолжительность вертикального подъема должно быть не меньше того времени, которое потребуется двигательной установке (ДУ) для выхода на режим полной тяги. В случае программного разворота по крену надо выждать, пока и эта операция не будет закончена полностью.

Но и с разворотом по углу тангажа нельзя медлить. Увеличение вертикального подъема приводит к отходу от оптимальных условий выведения, хотя бы по дальности. Но главное- с увеличением времени вертикального участка поворот ракеты придется проводить при больших скоростях полета, т.е. при большом скоростном напоре , при опасных углах атаки. Каждому скоростному напору для данной ракеты соответствует свое максимально допустимое значение угла атаки, величина которого определяется прочностью корпуса на изгиб под действием поперечного нагружения. Чем больше скоростной напор, тем больше допустимый угол атаки. Значит, разворот ракеты надо начинать, пока скоростной напор мал.

При скорости, приближающейся к скорости звука, происходит быстрое изменение аэродинамических сил и моментов, смещается центр давления. Это создаёт трудности для автомата стабилизации, поэтому этот участок траектории желательно проходить при нулевых углах атаки. Этого требуют и условия прочности, естественно.

На участке 0-t₁ угол φ_пр остаётся неизменным (φ_пр=90⁰). С момента t₁ начинается разворот ракеты (уменьшается φ_пр) и возникает угол атаки. Надо сделать так, чтобы максимальное значение (по абсолютной величине) α_max достигалось в начале участка разворота , а при достижении скорости близкой к скорости звука, движение продолжалось с нулевым углом атаки. Ограничение по углу α может быть снято лишь после того, как ракета выйдет за пределы атмосферы, где скоростной напор ничтожно мал.

Для уравнения (153) α=φ=υ=χ, безразлично, какой из двух углов задан – φ_пр или α, а какой определяется в результате интегрирования. Поэтому, на стадии выбора программы вывода удобно аппроксимировать угол атаки на участке разворота функцией α(t), удовлетворяющей наложенным ограничениям, а программный угол получить в результате интегрирования уравнений движения.

Примером такой аппроксимирующей функции может служить быстрозатухающая функция вида:

.

Параметр определяет скорость затухания и выбирается таким, чтобы при числах М = 0,7…0,8 угол атаки был примерно равным нулю.

Неопределённым остаётся максимальный угол атаки α_max. Это и есть основной варьируемый параметр программы от которого зависит закон последующего движения.

Приняв указанную аппроксимирующую функцию для α, можно при некотором фиксированном значении угла α_max произвести интегрирование уравнений движения и получить закон изменения программного угла φ_пр (фиг.67).

Когда ракета выйдет за пределы атмосферы, ограничения на угол атаки снимаются, а с момента t=t₂ можно принять φ_пр= φ_пр.к. неизменным На программе устанавливается “полка”.

При неизменном φ_пр угол атаки возрастает, а угол наклона траектории υ=φ_пр+ χ – α уменьшается. К моменту выключения двигательной установки t=t_к угол υ_к должен соответствовать заданному краевому условию баллистической задачи.

В итоге получена довольно простая программа угла тангажа с двумя варьируемыми параметрами – α_max и φ_пр.к. (или t₂, что одно и то же). Наличие свободного параметра φ_пр.к позволяет, помимо заданного краевого условия, выполнить ещё одно из экстремальных условий – обеспечить максимальную дальность или минимальное рассеивание.

В заключение отметим, что программный угол φ_пр и фактически реализуемый угол тангажа φ, различаются. Это различие зависит от статической характеристики автомата стабилизации и учитывается в уточнённых баллистических расчётах.