11.3. Уравнения движения летательного аппарата в скалярной форме.

Исследование полёта ракеты может быть значительно упрощено удачным выбором системы координат. Практически всегда оказывается наиболее целесообразным получать уравнения вращательного движения летательного аппарата проектированием соответствующего векторного уравнения на связанные с летательным аппаратом оси. Однако, это зависит от поставленной задачи.

Спроектируем уравнение (102) на произвольные прямоугольные оси координат, имеющие начало О в центре масс летательного аппарата.

Пусть – угловая скорость вращения этих осей относительно неподвижных.

Как известно из механики, проекции уравнения (102) на указанные подвижные оси будут иметь следующий вид:

(108),

где , , – проекции вектора скорости центра масс летательного аппарата на подвижные оси.

, , – проекции угловой скорости вращения подвижных осей относительно неподвижной системе координат на подвижные оси;

, , – проекции всех сил, действующих на летательный аппарат, на подвижные оси.

Для составления уравнения вращения летательного аппарата относительно центра масс воспользуемся векторным уравнением (105):

,

В котором – главный момент количеств движения фиктивного твёрдого тела S.

– главный момент всех сил, приложенных к телу S.

В момент затвердевания t твёрдое тело и реактивный летательный аппарат имеют одинаковое распределение масс, следовательно, у них совпадают центры масс, направления главных центральных осей инерции и значения I₁(t), I₂(t), I₃(t) моментов инерции относительно этих осей.

Напомним:

Определение: Момент инерции тела относительно оси – сумма произведений масс частиц тела на квадраты их расстояния от этой оси:

.

Размерность [ ] в СИ. Момент инерции зависит только от формы тела и расположения масс в нём, но не зависит от состояния движения тела.

Поскольку движение тела S совпадает с движением корпуса летательного аппарата, оси будут иметь одну и ту же угловую скорость вращения относительно инерциальной системы координат и в момент времени t равные проекции этой скорости на главные центральные оси инерции (ω₁, ω₂, ω₃).

Согласно принципу затвердевания, проекции производной в момент времени t следует вычислять по обычным правилам механики как для твёрдого тела с постоянными моментами инерции. Поэтому, приняв за координатные оси главные центральные оси тела согласно динамики твёрдого тела, можем записать уравнения вращательного движения в форме Эйлера:

(109),

где , , – суммы проекций моментов сил на главные центральные оси инерции.

Напомним: в любой точке твёрдого тела существуют 3 взаимно перпендикулярных главных оси инерции.

Уравнения (109) записаны для произвольного, но фиксированного момента времени t . Меняя момент затвердевания t, будем получать твердые тела S с различными моментами инерции и направлениями главных центральных осей инерции. Следовательно, уравнения (109) в различные моменты времени t представляют собой проекции уравнения (105) на различные оси координат. Чтобы уравнения вращательного движения (109) записать в одной системе координат, необходимо учесть вращение главных центральных осей инерции относительно корпуса летательного аппарата.

В дальнейшем будем пользоваться уравнениями (109), предполагая, что направления главных центральных осей инерции остаются неизменными относительно корпуса летательного аппарата во все время горения топлива. Такое предположение является вполне допустимым, т.к. учет вращения главных центральных осей инерции относительно корпуса летательного аппарата дает в уравнениях (109) дополнительные члены, которые в большинстве практических задач являются пренебрежимо малыми.

Для жесткого корпуса ракеты систему распределенных по поверхности корпуса аэродинамических сил в случае плоского движения приводят к равнодействующей, которую представляют в виде двух составляющих: подъемной силы и силы лобового сопротивления , приложенных в центре давления F (фиг.54).

Фиг.54

При изучении движения ракеты нужно определить момент аэродинамических сил и относительно поперечной оси Oz, проходящей через точку С – центр масс ракеты: . Для малых углов , , следовательно:

(110),

где – коэффициент момента аэродинамических сил; l – длина корпуса ракеты.

Момент зависит от аэродинамических характеристик и распределения масс ракеты, которое изменяется по мере выгорания топлива. Взаимное расположение центра масс и центра давления важно для стабилизации ракеты в полете. Если знак ( ) противоположен знаку ( ), то момент стремится уменьшить угол атаки .

Таким образом, различают:

1. аэродинамически устойчивая ракета: ,

2. аэродинамически неустойчивая ракета: ,

3. аэродинамически нейтральная ракета: ,

Если центр давления находится впереди центра масс ракеты ( ), то при отклонении оси ракеты от направления полета аэродинамические силы создадут момент, отклоняющий ось ракеты на еще больший угол.

Для обеспечения аэродинамической устойчивости ракета снабжена хвостовым оперением. Момент при называют стабилизирующим моментом.

Программный полет предусматривает движение баллистической ракеты в вертикальной плоскости , с которой совпадает вертикальная плоскость симметрии ракеты, т.е. (угол скольжения) . Такое движение в вертикальной плоскости называется “движение в плоскости тангажа”.

По некоторым причинам действительное движение ракеты всегда отличается от программного.

При вращении ракеты относительно поперечной оси, проходящей через точку С с угловой скоростью возникает демпфирующий момент.

Фиг.55

Этот момент складывается из аэродинамического демпфирующего момента, обусловленного появлением дополнительных углов атаки и момента от кориолисовых сил, который возникает при повороте потока жидкости, движущейся в баках и трубопроводах ракеты, и потока газов, движущихся по камере и соплу РД. Этот момент можно определить, если принять, что указанные потоки движутся совместно с корпусом ракеты.

Величина и направление кориолисова ускорения определяется векторным умножением: , где – относительная скорость движущегося в ракете потока.

Если, например, масса элемента, движущегося по трубопроводу потока жидкости равна ρS_Tdx, где S_T – площадь проходного сечения трубопровода, ρ – плотность жидкости, то если sin угла между и равен единице, кориолисова сила будет равна:

и направлена в сторону, противоположную ускорению.

При установившемся режиме работы реактивного двигателя, секундный массовый расход m_j через любое поперечное сечение потока площадью S_п между поверхностью в j – том баке и срезом сопла постоянен:

.

Поэтому величину момента для всей системы можно определить суммированием элементарных моментов по всем потокам:

,

где X_oj – расстояние от вершины ракеты до поверхности жидкости в j – том баке, l – расстояние от вершины ракеты до среза сопла реактивного двигателя.

При x>x_c момент направлен против вращения корпуса ракеты и является поэтому демпфирующим; при x<x_c – в сторону вращения корпуса.

При полете ракеты в плотных слоях атмосферы момент от кориолисовых сил значительно меньше демпфирующего момента от аэродинамических сил. За пределами атмосферы момент кориолисовых сил становится преобладающим.

Аэродинамический демпфирующий момент всегда направлен в сторону, противоположную вращению корпуса ракеты:

,

где – вращательная производная от коэффициента аэродинамического демпфирующего момента.

Итак:

(111).

В качестве основных управляющих органов в жидкостных ракетах применяются поворотные двигатели и газовые рули. Иногда в качестве дополнительных органов используются воздушные рули, которые эффективны при больших скоростях.

Газодинамические силы, воздействующие на поверхности рулей, приводят к появлению подъемной силы и силы лобового сопротивления , приложенным к оси вращения руля, и шарнирному моменту . Эти величины могут быть определены по обычным формулам:

(112)

где – скоростной напор обдувающего руль газового потока;

– характерные площадь и длина газового руля;

– угол поворота газового руля.

Сила лобового сопротивления Х_ГР приводит к потере тяги на газовых рулях.

В случае воздушных рулей по аналогии с газовыми рулями:

(113)

где

– угол поворота воздушного руля относительно корпуса ракеты.

Если органами управления ракеты являются поворотные РД, то:

При малых углах поворота :

(114)

Независимо от типа органов управления будем полагать, что при малых углах поворота сила лобового сопротивления рулей не зависит от угла , а поперечная управляющая сила пропорциональна .

В общем виде:

, (115)

где - градиент управляющей силы рулей.

Сила тяги ракетного двигателя при постоянном секундном расходе топлива зависит от высоты полета ракеты.

где - сила тяги ракетного двигателя у поверхности Земли;

S_a-площадь среза сопла;

P₀, P_H – статическое давление воздуха у поверхности Земли и на высоте Н.

По мере набора высоты сила тяги плавно возрастает соответственно падению атмосферного давления.

Эффективной называется тяга ракетного двигателя, отличающаяся от тяги РД на величину лобового сопротивления газовых рулей:

Вес ракеты во время полета изменяется из-за изменения массы m ракеты и вследствие изменения ускорения силы тяжести g:

Масса ракеты в заданный момент времени полета t равна начальной массе m₀ за вычетом сгоревшего топлива:

Ускорение силы тяжести на высоте Н над поверхностью Земли:

(116)

Где - ускорение силы тяжести у Земли;

- радиус Земли.

Кроме продольного движения может одновременно существовать и боковое движение с координатами ψ и β и, которое называется движением рысканья. Движение с координатой γ называется вращением относительно продольной оси ракеты, или движением крена.

Наличие плоскостей симметрии ракеты дает возможность разделить общее движение, описываемое уравнениями (108, 109) на три движения: на продольное, на движение в плоскости рысканья и на вращение относительно продольной оси.

Фиг. 56 Силы и моменты, действующие на ракету.

– угол траектории;

φ – угол тангажа;

α – угол атаки.

Исследование движения рысканья и крена можно провести лишь после определения параметров продольного движения.

Пусть стабилизация ракеты осуществляется раздельно по тангажу, рысканью и крену. Тогда уравнения, описывающие работу систем управления в плоскости тангажа, рыскания и крена будут независимыми. В этом случае уравнения движения управляемой ракеты в плоскости тангажа можно получить независимо от уравнений движения в плоскости рыскания.

На фиг. 56 показаны силы и моменты, действующие на ракету. Найдем уравнения движения ракеты в вертикальной плоскости в скоростной системе координат.

Полагая, что в уравнениях (108, 109)

, :

, , ,

получим:

;

; (117)

.

Здесь – возмущающие силы и момент

G - вес ракеты.

Для обеспечения управления и устойчивости движения в системе управления (системе стабилизации) ракеты используются сигналы от чувствительных элементов, пропорциональные ускорениям в направлении продольной и поперечной осей ракеты. Эти сигналы определяются непосредственно из уравнений движения в связанной системе координат.

Проекции скорости на оси Ох₁ и Оу₁ связанной системы координат (фиг. 56) будут:

;

.

Для связанной системы координат в уравнениях (108,109) нужно принять, что:

;

;

,

отсюда следует:

(118)

,

где –некоторые возмущающие силы и момент, которые будем считать заданными.

Чтобы найти решение уравнений (117), (118) нужно знать закон изменения по времени управляющих сил. Закон задается системой управления и зависит от типа и структуры этой системы. Уравнение системы управления можно представить в виде:

(115)

.

Уравнения (117) и (118) получены в предположении, что стартовая система координат инерциальная.