11.1.1. Теорема о количестве движения.

Формулировка теоремы: производная по времени от количества движения системы равна главному вектору внешних сил.

Эту теорему можно применить только к системе, имеющей постоянную массу.

Имеем, (78) - главный вектор (равнодействующая) внешних сил в момент времени t, действующих на систему переменного состава , а следовательно и на систему (систему постоянного состава, состоящую из тех материальных частиц, которые в некоторый фиксированный момент времени t находились внутри поверхности S).

Представим абсолютное движение системы как сложное. Пусть движение частицы относительно оболочки S и осей будет относительным. Тогда переносным будет движение частицы вместе с оболочкой S и осями относительно инерциальной системы координат .

Обозначим – абсолютную, переносную и относительную скорости (ускорения) частицы, - кориолисово ускорение.

Тогда, .

По теореме сложения ускорений:

(79)

Поскольку, , следовательно, - есть производная количества движения системы в относительном движении. Введем понятие фиктивной скорости , тогда . Из вышесказанного получаем:

(80).

Аналогично: .

Вектор кориолисовых сил инерции равен:

(81).

Введем понятие “фиктивного количества движения” – – это количество движения системы в момент времени t, которая затвердела, т.е. прекратилось движение частиц относительно твердой оболочки S( ). Тогда переносные ускорения частиц системы будут равны абсолютным ускорениям полученного таким путем фиктивного твердого тела S, которое можно рассматривать как “фиктивное твердое тело переменной массы”, внутри которого с течением времени возникают или исчезают материальные частицы, неподвижные относительно твердой оболочки тела.

Для производной по времени от количества движения тела S получаем формулу:

(82) ,

где – главный вектор реактивных сил, обусловленных переносом количества движения среды через поверхность S;

– главный вектор вариационных сил, т.е. сил, возникающих вследствие нестационарности относительного движения среды. Эти силы обусловлены изменениями (вариациями) количества движения относительно осей Оx₁, Оy₁, Оz₁.

Если относительное движение среды стационарное, т.е. в каждой точке, неподвижной относительно осей Оx₁, Оy₁, Оz₁, плотность среды и скорость частиц не меняются с течением времени, то вариационные силы равны нулю.

Уравнение (82) представляет собой запись теоремы об изменении количества движения системы переменного состава. Уравнение (82) показывает, что для определения движения тела с твердой оболочкой S надо к числу внешних сил , действующих на систему суммарно, добавить реактивные силы , кориолисовы силы и вариационные силы .

11.1.2. Теорема о моменте количеств движения.

С помощью рассуждений, аналогичных изложенным в разделе 11.1.1. получим формулу теоремы об изменении главного момента движения системы переменного состава .

Рассмотрим твердое тело S,которое получается при затвердевании системы переменного состава в момент времени t. Примем центр масс твердого тела S и системы за начало системы координат Оx₁, Оy₁, Оz_1.

Тогда:

, (83)

где - главный момент количеств движения тела S при движении относительно осей, проходящих через центр масс О и движущихся поступательно;

-главный момент всех внешних сил, действующих на систему суммарно в момент времени t;

– главный момент реактивных сил;

– главный момент кориолисовых сил;

– главный момент вариационных сил.

Уравнение (83) описывает вращательное движение твердой оболочки S относительно центра масс О системы переменного состава .