7.3.1 Расход при ламинарном течении жидкости

Для определения расхода в одном из поперечных сечений трубы выделим кольцо радиуса r и шириной dr , имеющее площадь dS=2rdr.

Применим полученный закон распределения скоростей (30) для расчета расхода. Для этого выразим сначала элементарный расход через бесконечно малую площадку dS:

.

Тогда, учитывая (30), имеем:

После интегрирования по всей площади поперечного сечения, т.е. от r=0 до r=r₀ (помня, что V от r не зависит) получаем:

(31),

т.е. при заданном I (гидравлический уклон ) расход в трубе в условиях напорного ламинарного движения пропорционален четвертой степени диаметра.

7.3.2. Средняя скорость

Учитывая, что V_ср=Q/S , найдем среднюю скорость:

разделим на: (32)

Сравнивая формулы (30) и (32) видим, что V_ср=0,5V_max .

Т.е. средняя скорость в сечении напорного ламинарного потока в цилиндрической трубе круглого сечения равна половине максимальной скорости на оси трубы.

7.3.3. Потери напора на трение

Выведем закон сопротивления, т.е. определим потери напора h_пот. на трение через расход и размеры трубы.

Учитывая, что из (32) имеем:

(33)

Преобразуем:

.

В таком виде эта формула известна как формула Дарси-Вейсбаха.

Т.к. , формула примет вид:

(33)

Для ламинарного потока 64/Re есть коэффициент Дарси (коэффициент гидравлического трения по длине), обозначаемый  .

Тогда получим формулу Дарси-Вейсбаха в окончательном виде:

. (34)

Учитывая (31), получим

(35).

Полученный закон сопротивления показывает, что при ламинарном течении в трубе круглого сечения потеря напора на трение пропорциональна расходу (скорости), длине трубы и вязкости жидкости в первой степени и обратно пропорциональна диаметру в четвертой степени (закон Пуазейля, получил формулу (35) в 1840 г. экспериментально).

В общем виде коэффициент Дарси имеет вид:

(36).

7.4. Турбулентный режим движения жидкости.

7.4.1. Особенности турбулентного течения. Пограничный слой.

При турбулентном режиме течения существует непрерывное перемешивание частиц жидкости в результате их перемещения поперек основного потока. Беспорядочные отклонения частиц от общего направления движения приводят к непрерывным изменениям их скорости по величине и направлению, т.е. турбулентное движение по своей природе является неустановившимся. Колебания скорости жидкости сопровождается (согласно уравнения Бернулли) соответствующими изменениями давления.

Если с помощью измерительной аппаратуры записать изменение скорости в данной точке во времени, то получим график V=f (t)

За сравнительно длительное время t_оср. (время осреднения) можно найти осредненную скорость V_оср., относительно которой происходит её пульсация:

.

Действительная мгновенная скорость V_i равна

V_{i =}V_оср.± ∆V_i , где ∆V_i – пульсационная составляющая скорости.

Следует подчеркнуть разницу в понятиях осредненной V_оср. и средней V_ср скоростей, учитывая их языковое и математическое сходство.

Осредненная местная скорость – результат осреднения мгновенных скоростей во времени в заданной точке турбулентного потока. Средняя скорость – итог осреднения местных скоростей разных точек по площади живого сечения .

В цилиндрической трубе осредненные скорости турбулентного потока V_оср. в фиксированных точках практически постоянны и направлены вдоль оси потока. В связи с этим турбулентное движение жидкости условно рассматривают как параллельно-струйное, что позволяет применять к его описанию уравнение Бернулли.

Изменение скорости во времени называют пульсацией скорости. В турбулентном вихревом потоке возникает также пульсация давления. Вихри, возникающие в результате обтекания местных неровностей, распространяются по всей длине потока, увеличивая сопротивление движению и выравнивая скорости по сечению потока.

Турбулентное течение можно рассматривать как сумму наложения друг на друга двух потоков: осредненного и пульсационного. Пульсационный поток носит хаотический характер, движение частиц в нем возбуждается местными вихрями и местными перепадами давления или тепловыми неравномерностями, которые не подчиняются определенным закономерностям. Турбулентность вызывается или трением потока тела, или перемещением вихрей и местным нагревом среды.

Оценить степень турбулентности можно, поместив в произвольную точку А потока прибор, определяющий скорость потока с малой инерционностью, например, термоанемометр, который позволяет измерять отклонения скорости от средней величины, т.е. пульсационную скорость .

Количественную оценку степени турбулентности можно определить коэффициентом:

,

представляющим собой отношение квадратного корня из среднеквадратичных пульсационных скоростей к осредненной скорости потока. Эта величина выражается в процентах и называется «степень турбулентности».

Степень турбулентности аэродинамических труб ранних конструкций была   = 1.75%, у современных   = 0.1 – 0.2%.

В свободной атмосфере  из-за трения воздушных структур друг о друга в приземных слоях может быть значительной, но уже на высоте нескольких сотен метров   0.03%.