Лабораторна робота № 3 Нечіткі множини
Основи нечіткої логіки були закладені у кінці 60-х років у роботах відомого американського математика Лафти Заде. Строге визначення поняття нечіткої множини, введене Заде, має наступне формулювання:
нехай
Е — є множина , скінчена або ні, і x
— елемент Е. Тоді нечіткою підмножиною
А множини Е називається множина
впорядкованих пар
,
де
— ступінь належності x
в А.
Таким чином, якщо приймає свої значення у множині М значень функції належності або у множині належності, то можна сказати, що x приймає значення в М за допомогою функції . Ця функція називається функцією належності.
Операції над нечіткими множинами
Нехай
А
і В
— нечіткі множини на універсальній
множині Е.
Говорять, що А міститься
в
В, якщо
.
Позначення:
.
Іноді
використовують термін домінування,
тобто у випадку якщо
,
говорять, що В
домінує А.
Рівність
А
і В
рівні, тобто
.
Позначення:
.
Доповнення
Нехай
,
А
і В
— нечіткі множини, задані на Е.
А
і В
доповнюють один одного , якщо
.
Позначення:
або
.
Очевидно,
що
(доповнення
визначене для
),
але очевидно, що його можна визначити
для будь-якого впорядкованого М).
Перетин
—
найбільш
нечітка підмножина, яка міститься
одночасно в А
і В.
.
Об’єднання
—
найменша
нечітка підмножина, яка включає як А,
так і В, з функцією належності:
.
Різниця
з функцією
належності
.
Диз’юнктивна сума
з функцією
належності
.
Властивості операцій
Комутативний закон для об’єднання і перетину множин
А В= В А;
А В= В А.
Асоціативний закон для об’єднання і перетину множин
А (В С)=(А В) С;
А (В С)=(А В) С.
Дистрибутивний закон для об’єднання і перетину множин
А (В С)=(А В) (А С);
А (В С)=(А В)(А С).
Властивості пустої множини й універсума відносно об’єднання
А = А;
А = ;
А Е = Е;
А Е = А.
Закон ідемпотентності для об’єднання і перетину множин
А А = А;
А А = А.
Закон інволюції
=А.
Теорема де Моргана
;
.
Приклади задач
Нехай
A = 0,4/ x1 + 0,2/ x2+0/ x3+1/ x4;
B = 0,7/ x1+0,9/ x2+0,1/ x3+1/ x4;
C = 0,1/ x1+1/ x2+0,2/ x3+0,9/ x4.
Визначити
,
,
,
,
,
,
,
.
Розв’язок
1.
,
тобто А міститься в В або В домінує А, С
незрівняна ні з А, ні з В, тобто пари
— пари недомінуючих множин.
2.
0,6/
x1 + 0,8/x2 + 1/x3 + 0/x4;
0,3/x1
+ 0,1/x2 + 0,9/x3 + 0/x4.
3.
0,4/x1
+ 0,2/x2 + 0/x3 + 1/x4.
4.
0,7/x1
+ 0,9/x2 + 0,1/x3 + 1/x4.
5.
0,3/x1
+ 0,1/x2 + 0/x3 + 0/x4;
0,6/x1
+ 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.
6.
0,6/x1
+ 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.
Завдання для самостійної роботи
Для універсальної множини
та нечітких підмножин
знайти
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
є)
;
ж)
.
Довести властивість
а)
;
б)
;
в)
.
Для трьох нечітких підмножин із вправи 1 обчисліть
а)
;
б)
.
Спростіть вираз
.
Довести
а)
;
б)
;
в)
.
Виходячи, що A + B = (A\B) (B\A), доведіть
а) A + B = B + A ;
б) A (B + C) = (A B) + (A C);
в) A + =A.
Лабораторна робота № 4 Булева алгебра. Закони булевої алгебри. Складання таблиці істинності функції
Для зображення інформації в комп’ютерах використовується двійкова система числення. Таким чином, усі операції, які виконує комп’ютер, проводяться на множині {0, 1}. Ці перетворення зручно формально зображати за допомогою апарату двійкової логіки, який був розроблений Д. Булем у середині XIX ст. Ця алгебраїчна структура називається булевою алгеброю і використовується під час розв’язання різних задач обробки інформації, під час роботи з базами даних, у логічному програмуванні, при проектуванні інтелектуальних систем, для конструювання й аналізу роботи комп’ютерів та інших електронних пристроїв. У булевій алгебрі використовують такі закони:
1. Комутативність кон’юнкції й диз’юнкції
x y = y x; x y = y x.
2. Асоціативність кон’юнкції та диз’юнкції
x (y z) = (x y) z; x (y z) = (x y) z.
3. Дистрибутивність кон’юнкції й диз’юнкції відносно одна одної
x (y z) = (x y) (x z); x (y z)=(x y) (x z).
4. Ідемпотентність конюнкції й диз’юнкції
x x = x; x x = x.
5. Закон виключення третього
x
= 1.
6. Закон протиріччя
x = 0.
7. Тотожності з константами
x 0 = x; x 1= x; x 0= 0; x 1= 1.
8. Закони елімінації (поглинання)
x (x y) = x; x (x y) = x.
9. Закон подвійного заперечення
.
10. Закони де Моргана
; 
.
11. Тотожності
x ( y) = x y;
(x
y)
(x
z)
(y
)=(x
z)
(y
);
;
;
x
1= 1; x
0= 0 і т.д.
Тотожності можна доводити за допомогою перетворень виразів і складання таблиць істинності.
Приклади задач
1. Доведіть закон ідемпотентності x x = x x = x.
Розв’язок
x x = x x 1= (x x) 1= (x x) (x ) = x (x ) = x 0 = x;
x x = x x 0 = (x x) 0 = (x x) (x ) = x (x ) =
x(x ) = x 1= x.
2. Доведіть, що x 1= 1.
Розв’язок
x 1= x (x ) = (x x) = x = 1.
3. Доведіть, що x 0 = 0.
Розв’язок
x 0 = x (x ) = (x x) = x = 0.
4. Довести закон поглинання x (x y) = x (x y)= x.
Розвязок
x (x y) = ( x 1) (x y) = x (1 y) = x 1= x;
x (x y) = (x 0) (x y) = x ( 0 y) = x ( y 0) = x 0 = x.
5.
Довести, що
.
Розв’язок
Це співвідношення доводимо таким чином:
x
=1,
із закону комутативності випливає, що
x=1,
порівнюючи
=1,
маємо x
=
.
6.
Довести закони де Моргана
.
Розвязок
На
основі властивостей заперечення рівності
функцій
та
повинно означати, що
(x y)( ) = 1 та (x y)( ) = 0. Дійсно,
(x
y)(
)
= ((x
y)
)((x
y)
)
= ((x
)
y)(x(y
))
=
(1 y)( x1) = 11=1;
(xy)(
)
= (x
(
))(y(
))
=
((x
)
)
((y
)
)
=
(0 ) (0 ) = ( 0)( 0) = 0 0 = 0.
Отже, співвідношення доведено. Аналогічно доводиться другий закон.
7. Довести за допомогою таблиці істинності закон де Моргана .
x |
y |
|
|
|
x y |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
Побудована таблиця істинності доводить справедливість тотожності.
Операцію кон’юнкції часто називають логічним множенням, а операцію диз’юнкції — логічним додаванням. Ще одне спрощення допускається: знак кон’юнкції у формулах можна опустити й замість x y писати xy. Операції виконуються у такій послідовності: заперечення, кон’юнкція, диз’юнкція, імплікація й еквівалентність.
Завдання
1.
Підстановкою у формулу
змінних
запишіть нові формули, спростіть їх,
якщо це можливо:
а)
,
b
= z;
б)
;
;
в) a
= x,
.
2. Запишіть таблиці істинності для наступних формул:
а)
;
б)
;
в)
.
3. Перевірити за допомогою таблиць істинності наступні тотожності:
а)
;
б)
;
в) x (y z) = (x y) (x z);
г) x (y z) = (x y) (x z);
д)
;
е) x1
x2
=
.
4. Спростити формули:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
5. Перетворіть формули так, щоб операція заперечення застосовувалася лише до логічних змінних:
а)
;
б)
.
6. З простих виразів x1=випробування проведені та x2=програма виконана створіть складні вирази за такими формулами:
а)
;
б)
;
в) x1 x2;
г) x1 x2.
7. Запишіть формулу, що відповідає висловлюванню: Програма буде виконана тоді і тільки тоді, коли скінчаться іспити й показники будуть задовільні; якщо програма не буде виконана, співробітники не одержать премію або будуть переглянуті технічні умови.
Завдання для самостійної роботи
1. Перевірте за допомогою таблиць істинності, чи справедливі такі співвідношення:
а) x (y z) = (x y) (x z);
б) x (y z) = (x y) (x z);
в) x (y z) = (x y) (x z);
г) x (y z) = (x y) (x z);
д) x (y z) = (x y) (x z).
2. Побудуйте таблиці істинності для формул:
а)
;
б)
;
в)
.
3. При x1 = 1, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 1 знайдіть значення кожної з наступних формул:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
(x2
x3);
е)
.
4. Спростіть за допомогою законів логіки Буля наведені нижче вирази. Потім за допомогою таблиць істинності порівняйте одержані вирази з вихідними:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
є)
;
ж)
.