Затухающие и вынужденные колебания

Затухающие механические колебания

Свободные колебания реальных механических систем всегда затухают. Затухание возникает в основном из-за трения, сопротивления окружающей среды и возбуждения в ней упругих волн.

Рассмотрим систему, совершающую крутильные затухающие колебания. Она представляет из себя брусок, подвешенный на струне, концы которой закреплены. На брусок для увеличения момента инерции может быть положен брусок. После отклонения бруска на небольшой угол от положения равновесия система будет совершать свободные крутильные колебания.

Получим дифференциальное уравнение затухающих крутильных колебаний. Чтобы выяснить, как изменяется со временем используем основной закон динамики вращательного движения:

(1)

Где – момент инерции бруска, – угловое ускорение, – момент сил упругости, – момент сил сопротивления.

, – коэффициент упругости. Для малых скоростей вращения , – коэффициент сопротивления, – угловая скорость. Уравнение (1) в скалярной форме примет вид:

Обозначив ( – коэффициент затухания) и ( – циклическая частота свободных незатухающих колебаний), получим

(2)

Решением этого уравнения при малом затухании является функции:

(3)

Здесь – амплитуда в начальный момент времени, – амплитуда затухающих колебаний.

Циклическая частота затухающих колебаний:

(4)

Быстроту затухания колебаний принято характеризировать логарифмическим декрементом затухания:

(5)

Где и – амплитуды двух соседних колебаний. Или для колебаний:

(6)

Выясним физический смысл коэффициента затухания. Обозначим через время, в течении которого амплитуда колебаний уменьшается в раз.

Тогда ,

а следовательно, и

(7)

Отсюда ясен физический смысл коэффициента затухания: коэффициент затухания есть величина, обратная времени, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Физический смысл логарифмического декремента затухания:

(8)

Где – число колебаний, происходящих за время . Таким образом, логарифмический декремент есть величина, обратная числу колебаний, по завершению которых амплитуда уменьшается в раз .

Определим период затухающих колебаний. Выразим циклическую частоту затухающих колебаний и циклическую частоту собственных колебаний через соответствующие периоды и : , . Учитывая, что коэффициент затухания связан с логарифмическим декрементом затухания отношением: из формулы (4) следует: , отсюда .

Из выражения для собственной частоты крутильных колебаний можно выразить период собственных крутильных колебаний: , тогда период затухающих колебаний бруска:

(9)

Если на брусок положить кольцо, момент инерции, то добавится момент инерции, создаваемый кольцом , где – масса кольца, – его радиус.

Для периода крутильных колебаний системы с кольцом:

(10)

Возьмем отношение и получим из нее расчетную формулу для момента инерции бруска:

(11)

Если и то можно записать приближенную формулу:

(12)

Определив периоды колебаний и , момент инерции кольца , можно определить момент инерции бруска .

Затухающие электромагнитные колебания

Рассмотрим собственные колебания в контуре с сосредоточенными постоянными: емкостью , индуктивностью и сопротивлением -контур (рис. 2). Будем считать, что электрические процессы в контуре квазистационарны.

Э то значит, что мгновенное значение тока одно и то же в любом месте контура и что к мгновенным значениям электрических величин можно применять правила Кирхгофа.

Согласно второму правилу Кирхгофа сумма напряжений в любом замкнутом контуре равна сумме ЭДС, встречающихся в этом контуре. В нашем случае сумме напряжения на конденсаторе и на сопротивлении: равна ЭДС самоиндукции , которая возникает за счет изменения тока в катушке при перезарядке конденсатора:

(13)

Используем определение силы тока: и закон Кирхгофа примет вид:

Разделим обе части этого уравнения на и введем следующие обозначения: , ( - коэффициент затухания), ( – частота собственных колебаний контура при ).

Получим стандартный вид дифференциального уравнения затухающих колебаний, описывающего изменение со временем заряда на обкладках конденсатора в контуре :

(14)

Это однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с обыкновенными производными и с постоянными коэффициентами. Решение этого уравнения имеет различный вид в зависимости от соотношения между коэффициентам. Если ,

то решение уравнения (14) имеет вид

(15)

– заряд конденсатора в начальный момент времени, – начальная фаза. и определяются из начальных условий. Циклическая частота определяется формулой (4).

Множитель перед функцией косинуса убывает со временем по экспоненциальному закону и имеет смысл амплитуды затухающих колебаний:

(16)

Поэтому (15) есть затухающее колебание заряда на обкладках конденсатора, а (14) – соответствующее ему дифференциальное уравнение затухающих колебаний, происходящее с периодом

(17)

Период затухающих колебаний всегда больше периода собственных колебаний.

Разделив (15) на электроемкость , получим напряжение на конденсаторе:

(18)

Чтобы найти величину тока, продифференцируем (15) по времени:

Умножим и разделим это выражение на

Введем угол , определяемый условиями:

, .

Тогда можно записать

(19)

Поскольку , а , .

Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления ток опережает по фазе напряжение на конденсаторе более, чем на и менее чем на .(при на ).

График функции (15) изображен на рисунке 2. Графики для напряжения и величины тока имеют аналогичный вид.

Колебательный контур часто характеризуют добротностью , которая определяется как величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания

(20)

Добротность колебательной системы характеризует ее способность сохранять энергию колебаний. Она пропорциональна отношению энергии колебаний системы в произвольный момент времени к убыли этой энергии за период:

(21)

Предположим теперь, что сопротивление контура велико, так что

.

В этом случае частота , выражаемая формулой (4), будет мнимой. Это значит, электрических колебаний в контуре не будет. В этом случае решение дифференциального уравнения (14) имеет вид:

(22)

где , , а и

постоянные, так как , то и оба вещественны и положительны.

Значения постоянных определяются начальными условиями задачи:

.

Это дает ,

после чего решение (22) принимает вид

(23)

На рисунке 4 изображены графически оба слагаемых этой формулы (пунктир) и их сумма (сплошная линия). Вместо колебаний происходит апериодический разряд конденсатора. Если сопротивление контура очень велико, так что , то и в последнем выражении можно пренебречь вторым слагаемым по сравнению с первым, а в знаменателе по сравнению с . Тогда .

Из сказанного видно, что для возникновения колебаний в контуре необходимо, чтобы выполнилось условие . Подставляем вместо и их значения, находим условие возникновения колебаний в виде: или .

Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим

(24)

Аналогия механических и электромагнитных колебаний

Пружинный маятник. Колебательный контур.

М еханические величин Электрические величины

С мещение Заряд конденсатора

М асса груза Индуктивность

Ж есткость пружины Величина обратная эл. емк.

К оэффициент трения Сопротивление

С корость Величина тока

Все формулы колебательных процессов электрической системы можно получить из соответствующих формул колебательных процессов механической системы указанными выше заменами величинами и наоборот.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

Второй закон Ньютона Второе правило Кирхгофа

Можно переписать в виде

,

где

и коэффициент затухания

Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением. Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего колебания затухают.

Вынужденные электромагнитные колебания

Вынужденными называются такие колебания, которые происходят в системе под влиянием внешнего периодического воздействия.

Рассмотрим процессы, протекающие в электрическом колебательном контуре , присоединенном к внешнему источнику, ЭДС которого изменяется по гармоническому закону:

(25)

– амплитуда внешней ЭДС, – ее циклическая частота. Схема контура представлена на рис. 5.

Обозначим через напряжение на конденсаторе, а через – силу тока в контуре. В этом контуре кроме ЭДС действует еще – ЭДС самоиндукции, прямо пропорциональная скорости изменения силы тока в контуре:

Для вывода дифференциального уравнения возникающих в таком контуре колебаний используем второй закон Кирхгофа:

(26)

Так как напряжение на сопротивлении по закону Ома , а сила тока есть заряд протекающий за единицу времени через поперечное сечение проводника: , то .

Напряжение на конденсаторе, как следует из определения электроемкости , прямо пропорционально заряду на обкладках конденсатора: .

ЭДС самоиндукции можно представить как вторую производную от заряда по времени: .

Подставляя в закон Кирхгофа, получим:

(27)

Разделив обе части этого выражения на и распределив слагаемые по степени убывания порядка производной , получим дифференциальное уравнение:

Введем стандартные обозначения: , .

– собственная частота свободных колебаний в контуре без потерь , – коэффициент затухания в контуре .

Уравнение примет стандартный вид:

(28)

Это уравнение называется дифференциальным уравнением вынужденных колебаний.

Уравнение (28) является неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Такого типа уравнения описывают поведение широкого класса колебательных систем (электрических, механических) под влиянием внешнего периодического воздействия (внешней ЭДС или внешней силы). Общее решение уравнения (28) складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения

(29)

и любого частного решения неоднородного уравнения (28). Характер общего решения однородного уравнения (12) зависит от величины коэффициента затухания . Нас будет интересовать случай слабого затухания: . При этом общее решение уравнения (29) имеет вид (см. затухающие электромагнитные колебания):

(30)

где и – постоянные, задаваемые начальными условиями.

Входящая в (30) величина является циклической частотой затухающих колебаний контура: определяет амплитуду затухающих колебаний, а – их фазу. Решение (30) описывает затухающие колебания в контуре.

Частное решение уравнения (28) ищем в виде гармонического колебания, происходящего с частотой, равной частоте внешнего периодического воздействия, и отстающего по фазе на от него.

(31)

где – амплитуда вынужденных колебаний.

Подставим (31) в (28), получим тождество (32)

Чтобы сравнить фазы колебаний, используем тригонометрические формулы приведения. Тогда (32) перепишется в виде

(33)

П редставим складываемые колебания в левой части тождества (33) в виде векторной диаграммы (рис. 6). Если третье слагаемое, соответствующее колебаниям на емкости , имеющее фазу и амплитуду , изобразим горизонтальным вектором, направленным вправо. Тогда первое слагаемое левой части, соответствующие колебаниям на индуктивности , изобразится на векторной диаграмме вектором, направленным горизонтально влево (его амплитуда ). Второе слагаемое, соответствующие колебаниям на сопротивлении , – вектором, направленным вертикально вверх (его амплитуда ), т. к. его фаза на отстает от первого слагаемого.

Так как сумма трех колебаний слева дает гармоническое колебание , то векторная сумма на диаграмме – (диагональ прямоугольника) изображает колебание с амплитудой и фазой , которая на опережает фазу колебаний третьего слагаемого. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора можно найти амплитуду и :

(34)

(35)

следовательно

(36)

Общее решение дифференциального уравнения (28) является суммой и .

(37)

Формула (37) показывает, что при воздействии на контур периодической ЭДС в нем возникают колебания двух частот: незатухающие колебания с частотой внешней ЭДС и затухающие колебания с частотой . Амплитуда затухающих колебаний со временем становится пренебрежимо малой, и в контуре остаются только вынужденные колебания, амплитуда которых не зависит от времени. Следовательно, установившиеся вынужденные колебания описываются функцией (31). То есть в контуре возникают вынужденные гармонические колебания, с частотой , равной частоте внешнего воздействия, и амплитудой , зависящей от этой частоты по закону (34). При этом по фазе вынужденное колебание отстает на от вынуждающего воздействия.

Продифференцировав выражение (31) по времени, найдем силу тока в контуре

(38)

где – амплитуда тока. Запишем это выражение в виде

(39)

где – сдвиг по фазе между током и внешней ЭДС. В соответствии с (35)

(40)

Из этой формулы следует, что сдвиг по фазе между током и внешней ЭДС зависит, при постоянном , от соотношения между частотой вынуждающей ЭДС и собственной частотой контура . Если , то сдвиг по фазе между током и внешней ЭДС . Ток в цепи опережает ЭДС на угол . Если , тогда . Ток в цепи отстает от ЭДС на угол . Если (резонансная частота), то , т. е. ток и ЭДС колеблются в одной фазе.

Резонанс – это явление резкого возрастания амплитуды при совпадении частоты внешней вынуждающей силы с собственной частотой колебательной системы.

Амплитуду тока можно преобразовать к виду:

(41)

И з этой формулы следует, что амплитуда тока в контуре зависит от частоты внешней ЭДС. График представлен на рисунке 3.

С возрастанием амплитуда тока возрастает, затем достигает максимума, а при дальнейшем увеличении асимптотически спадает до нуля. Очевидно, что максимального значения ток достигает при или и равен .

Напряжение на сопротивлении : Разделив выражение на емкость, получим напряжение на конденсаторе

(42)

Где

– амплитудное значение напряжения на емкости.

Напряжение на индуктивности ,

(43)

где – амплитудное значение напряжения на дуктивности.

Таким образом напряжения на индуктивности и на конденсаторе зависят от частоты внешней ЭДС.

Из (38), (42) и (43) видно, что сдвиг фаз между током и внешней ЭДС при резонансе:

• на активном сопротивлении равен нулю;

• на индуктивности ток отстает от напряжения на ;

• на емкости ток опережает на .

При возникает резонанс тока. При этом , то есть напряжение на емкости и индуктивности равны по величине и противоположны по фазе. Напряжение на реактивных сопротивлениях точно компенсируют друг друга и, следовательно, ЭДС равна напряжению на активном сопротивлении.

При резонансе , . Учитывая, что , и (20), получим выражения для добротности контура

(44)

Тогда амплитуды напряжений на индуктивности и емкости можно выразить через собственную добротность:

(45)

(46)

Из (45), (46) видно, что при , амплитуда на конденсаторе и индуктивности в раз больше амплитуды вынуждающей ЭДС. Это свойство последовательного контура используется для выделения радиосигнала определенной частоты из спектра радиочастот при перестройке радиоприемника.

Реальные контура связаны с другими контурами, измерительными приборами или усилительными устройствами, вносящими дополнительное затухание в контуре. Поэтому реальная величина добротности нагруженного контура оказывается ниже величины добротности, оцениваемой . Реальная величина добротности может быть оценена как

(47)

где – ширина полосы частот, в которых амплитуда тока составляет 0,7 от максимального значения.

Приложение 4

ВОЛНЫ

Механические волны

Упругой средой называется среда, частицы которой связаны между собой упругими силами. Например, газу присуща объемная упругость, то есть способность сопротивляться изменению его объема. Это свойство газа обусловлено тепловым движением молекул газа и проявляется в изменении давления газа р при изменении его объема V. Если какая-либо точка упругой среды начинает совершать механические колебания, то энергия колебания этой точки будет передаваться окружающим точкам, вызывая их колебания.

Механические колебания, распространяющиеся в упругой среде, называются упругими или механическими волнами.

Геометрическое место точек, до которых к данному моменту времени дошли колебания, называется фронтом волны. Геометрическое место точек, в которых фаза колебаний имеет одно и то же значение, называется волновой поверхностью. Очевидно, что фронт волны является одной из волновых поверхностей.

Среда называется изотропной, если её свойства одинаковы во всех направлениях. В такой среде колебания распространяются по всем направлениям с одной и той же скоростью. Волновые поверхности в случае точечного источника колебаний являются сферами с центром в источнике колебаний. Волна называется плоской, если ее волновые поверхности представляют совокупность плоскостей, параллельных друг другу.

Упругая волна называется продольной, если точки среды колеблются в направлении распространения волны. Продольные волны обусловлены объемной упругостью среды и могут распространяться в любой среде – твердой, жидкой, газообразной. Примером таких волн являются звуковые волны в воздухе. Волна, колебания в которой совершаются в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны, называется поперечной волной. Примером поперечных волн могут служить волны, распространяющиеся вдоль струн музыкальных инструментов.

Звуком, звуковыми или акустическими волнами называются упругие волны малой интенсивности, распространяющиеся в упругой среде. Звуковые волны частотой от 16 Гц до 20 кГц – слышимые звуки, менее 16 Гц – инфразвук, более 20 кГц – ультразвук. Воспринимаемые звуки люди различают по громкости, высоте и тембру. Громкость определяется интенсивностью звуковой волны, пропорциональной ее амплитуде. Любой реальный звук является наложением колебаний с определенным набором частот, называемым акустическим спектром. Сплошным спектром обладают шумы. Звук с линейчатым спектром слышится как звук с определенной частотой. Высота определяется основной или наименьшей частотой. Относительная интенсивность волн с другими частотами определяет тембр звука.

Получим уравнение бегущей волны. Пусть волна распространяется вдоль оси OX от источника колебаний, находящегося в начале координат – точке О. Все точки на оси OX будут повторять колебания точки О с некоторым запозданием во времени. Но закон движения для них будет одинаков, то есть они будут в отсутствии потерь энергии колебаться с одной и той же частотой и одинаковой амплитудой. Точка О совершает гармоническое колебание, смещение точки О описывается законом:

(1)

Здесь обозначено: – смещение точки О, – амплитуда, – циклическая частота колебаний , – время, отсчитанное от вступления точки О в колебание.

В упругой волне все точки среды, расположенные вдоль оси OX, не перемещаются, а совершают колебания с циклической частотой вокруг собственных положений равновесия. – это смещение точки с координатой в момент времени от своего собственного положения равновесия. В монохроматической волне амплитуды и частоты колебаний всех точек одинаковы, а фазы разные. Для произвольной точки на оси OX уравнение колебаний имеет вид:

где – время, отсчитанное от начала вступления точки в колебательный процесс. Эта точка начала колебаться позднее, чем точка О на время τ, поэтому . Если скорость распространения волны , тогда , где – координата рассматриваемой точки. Тогда уравнение можно переписать в виде:

(2)

Фаза волны зависит от времени и координаты. Смещение является периодической функцией двух переменных: времени и координаты . Значит, волновой процесс – это периодический процесс, повторяющийся во времени и пространстве.

Длиной волны называется расстояние, на которое волна распространяется за период:

Если ввести понятие волнового числа , то уравнение бегущее вдоль оси ОХ волны примет вид:

(3)

С тоячей волной называется волна, образующаяся в результате наложения двух волн, которые распространяются навстречу друг другу и имеют одинаковые частоты и амплитуды, а в случае поперечной волны еще и одинаковую поляризацию. Стоячую звуковую волну можно получить следующим образом. Возьмем стеклянную трубу длиной (рис. 1), закрытую с одной стороны. У открытого конца трубы будем возбуждать гармоническое колебание воздуха (включим звуковой генератор).

Вдоль трубы будут распространяться звуковые волны; дойдя до закрытого конца, волны отразятся и будут распространяться в сторону открытого конца. Падающие и отраженные волны накладываются, интерферируют, и в трубе образуются стоячие волны.

Выведем уравнение стоячей волны. Уравнение падающей волны для точки М имеет вид (2). Уравнение отраженной волны для той же точки:

Знак «минус» учитывает перемену фазы на противоположную при отражении звуковой волны от более плотной среды (воздух-стекло). Результирующее смещение для точки будет равно:

Используя формулу разности синусов:

,

получим уравнение стоячей волны:

(4)

Абсолютное значение множителя , не зависящего от времени, является амплитудой стоячей волны.

Точки, смещение которых все время равно нулю называются узлами стоячей волны. Найдем координаты узлов. Для этого запишем уравнение:

где ; учитывая, что, запишем:

,

Координаты нулевого, первого, второго, n-го узлов:

, , ,

У закрытого конца трубы образуется узел и все узлы расположены на расстоянии полуволны друг от друга.

Точки, для которых имеют максимальную амплитуду, равную 2А. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Найдем их координаты. Для этого положим:

Учитывая, что , запишем:

Координаты узлов смещения:

.

Пучности расположены на расстоянии полуволны друг от друга. Множитель показывает, что все точки в стоячей волне совершают гармонические колебания с периодом Т.

Условия отражения от границы раздела сред: если среда, от которой происходит отражение, более плотная, чем среда в которой волна распространяется, то на границе получается узел смещения. Это объясняется тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, в месте отражения меняет свою фазу на противоположную. Это явление называется отражением с «потерей полуволны». Отражаясь от менее плотной среды, волна не меняет фазы в месте отражения, потери полуволны не происходит. Фазы падающей и отраженной волн у границы одинаковы и в этом месте получается пучность смещения в результате сложения колебаний одинаковых фаз.

Электромагнитные волны

Система уравнений Максвелла

Вся совокупность наших сведений об электромагнитном поле в сжатой форме содержится в четырех уравнениях Максвелла. Мы приведем их математические формулировки и поясним физический смысл.

1-е уравнение Максвелла

Является обобщением закона электромагнитной индукции Фарадея. Всякое изменяющееся во времени магнитное поле создает в пространстве вихревое электрическое поле , циркуляция которого по произвольному контуру определяет электродвижущую силу в этом контуре. Для электростатического (потенциального) электрического поля такая циркуляция равна нулю.

Интегральная форма уравнения:

.

Ц иркуляция вектора напряженности электрического поля по любому контуру равна со знаком минус производной по времени от потока индукции магнитного поля через любую поверхность , опирающуюся на контур . При этом под вектором понимается не только вихревое, но и электростатическое поле .

Дифференциальная форма уравнения:

.

Ротор вектора напряженности электрического поля в любой точке поля равен скорости уменьшения во времени вектора в этой точке

2-е уравнение Максвелла.

Является обобщением закона полного тока (теоремы о циркуляции вектора напряженности магнитного поля). Всякое изменяющиеся во времени электрическое поле наряду с током проводимости создает в пространстве вихревое магнитное поле.

Интегральная форма уравнения:

.

Ц иркуляция вектора напряженности магнитного поля по любому контуру равна сумме потока вектора плотности тока проводимости и потока вектора плотности тока смещения через произвольную поверхность , опирающуюся на контур . Напомним, что поток вектора плотности тока есть ток, так что справа стоит сумма токов проводимости и смещения, охватываемых контуром : – ток проводимости.

Дифференциальная форма уравнения:

.

Ротор вектора напряженности магнитного поля в любой точке пространства равен сумме векторов плотности тока проводимости и плотности тока смещения .

3-е уравнение Максвелла.

Является формулировкой теоремы Гаусса для вектора индукции электрического поля . Векторные линии индукции начинаются и заканчиваются только на свободных (сторонних) зарядах. В то время как источником электрического поля являются свободные и связанные заряды.

Интегральная форма уравнения:

.

Поток вектора индукции электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен суммарному свободному электрическому заряду, расположенному внутри этой замкнутой поверхности (ограничивающей объем ). Справа – объемный интеграл от объемной плотности свободного электрического заряда.

Дифференциальная форма уравнения:

.

Дивергенция вектора индукции электрического поля в любой точке равна объемной плотности свободного электрического заряда в этой точке.

4-е уравнение Максвелла.

Является формулировкой теоремы Гаусса для вектора индукции магнитного поля . Утверждает, что векторные линии магнитной индукции всегда замкнуты; в природе нет магнитных зарядов.

Интегральная форма уравнения:

.

Поток вектора индукции магнитного поля через произвольную замкнутую поверхность равен нулю.

Дифференциальная форма уравнения:

.

Дивергенция вектора индукции магнитного поля в любой точке поля равна нулю.

Возникновение волн в двухпроводной линии.

Линией передачи называют систему проводников, вдоль которых может распространяться электромагнитная волна с малыми потерями энергии. Рассмотрим для определенности бесконечную двухпроводную линию (два параллельных проводника, в частном случае два провода), рис. 4 (а, б).

Предположим, что на конце линии источник переменного синусоидального напряжения создается переменное электрическое поле (см. рис. 1а). Оказывается, что электрическое поле начнет распространятся вдоль линий. Рассмотрим это явление качественно.

Предположим, что в данный момент времени электрическое поле между точками увеличивается. Согласно основному положению теории Максвелла изменяющееся электрическое поле (см. 2-е уравнение Максвелла) создает вихревое магнитное поле. Так как увеличивается , следовательно, вектор плотности тока смещения (линии находятся в воздухе, или в вакууме, для воздуха ) направлен в ту же сторону, что и .

Находим, что магнитное поле направлено, как показано на рис. 4 (по правилу правого винта). Это магнитное поле также будет меняться во времени: .

Н о изменяющееся магнитное поле вызывает (см. 1-е уравнение Максвелла) появление вихревого электрического поля (его направление связано с направлением правилом левого винта). Поле (линии вектора показаны пунктиром вне линии) в месте расположения проводников вызывает в проводниках ток проводимости , а между точками линии – ток смещения (его плотность ). Поле в точках направлено противоположно полю , и, следовательно, гасит . Поле , создаваемое током смещение между точками , гасит поле . Таким образом, поля , в точках исчезнут, зато появятся в точках . Строго говоря, все точки , и т. д. следует считать бесконечно близкими. Электрические и магнитные поля, взаимно превращаясь и поддерживая друг друга, будут распространяться вдоль линии. Как видно из рис. 1а, в распространяющейся электромагнитной волне векторы и перпендикулярны друг другу и к направлению распространения волны, т. е. вектору скорости . Направления (см. рис. 4) этих векторов связаны правилом буравчика: направление совпадает с направлением поступательного движения буравчика с правой нарезкой, если его рукоятка вращается в направлении от к .

Распределение электрического и магнитного полей в распространяющейся волне представлены на рис. 4б.

Если поле в точках меняется по гармоническому закону с частотой , , то следовательно, в какой- либо точке , удаленной на расстояние от , возникнут колебания поля с некоторым опозданием , где – скорость распространения волны. Следовательно, в любой точке , здесь . Аналогично для вектора : .

Поскольку токи проводимости тоже создают магнитные поля, то структура поля в поперечном сечении линии (см. рис. 4б) довольно сложна и зависит от геометрии проводников линии. В частности, в используемой измерительной линии электромагнитная волна распространяется вдоль цилиндрического внутреннего и двух плоских параллельно соединенных вместе проводников.

Если концы линии разомкнуты (линии разорвана) или замкнуты на проводнике (линия закорочена), в ней возникают стоячие электромагнитные волны. Рассмотрим качественно работу линии передачи при этих режимах.

Режим «холостого хода».

При разрыве линии бегущая волна, дойдя до конца линии, отражается и двигается обратно к генератору, таким образом, в линии распространяются две волны: одна – падающая, другая – отраженная. Физически этот процесс объясняется следующим образом: когда падающая волна доходит до разомкнутого конца линии, то там начинают накапливаться заряды, т. е. возникает дополнительная разность потенциалов. Напряженность электрического поля в конце линии, следовательно, имеет максимальное значение. Поскольку концы линии разомкнуты, ток проводимости отсутствует и напряженность магнитного поля равна нулю. Поэтому при отражение от разомкнутого конца говорят, что фаза колебаний электрического вектора не изменяется, а фаза магнитного вектора электромагнитной волны изменяется на противоположную, т. е. на .

Дополнительное напряжение, возникающее на концах линии, действует подобно напряжению некоторого генератора и возбуждает новую бегущую волну, движущуюся от конца линии к началу ее. Если в падающей волне направление векторов в точке падения соответствует (рис. 5а), то в отраженной волне будет иметь место другое направление этих векторов (рис. 5б).

Введем координаты оси , направленную вдоль линии. Колебания электрического поля в любой точке линии (в падающей прямой волне) будут выражаться уравнением:

(5)

Считая, волна отражается полностью, колебания электрического поля отраженной волны в той же точке можно представить, как

(6)

Знак (+) у слагаемого выражает тот факт, что отраженная волна распространяется в отрицательном направлении оси . Сдвиг по фазе

(запаздывание по фазе отраженной волны в точке по сравнению с падающей) определяется расстоянием , которое должна пройти волна, чтобы вернутся в точку , поэтому (6) примет вид

(7)

где – длина линии и в (6).

Кроме того, в общем случае возможно изменение фазы колебаний при самом отражении (в нашем случае в режиме «холостого хода», как сказано выше, изменение фазы колебаний вектора при отражении не происходит).

Складываясь, обе волны дают результирующее поле:

(8)

Формула (8) есть уравнение стоячей волны, которое показывает, что в линии будут происходить колебания с частотой и начальной фазой . Амплитуда этих колебаний зависит от координаты

(9)

В точках, где фаза , амплитуда стоячей волны максимальна и равна . Эти точки называются пучностями стоячей волны. Расстояние между соседними пучностями равно: .

В точках, где , амплитуда стоячей волны равна нулю . Эти точки называются узлами. Легко видеть, что расстояние между соседними узлами так же равно .

На основании выше сказанного мы заключаем, что при работе линии в режиме «холостого хода» на конце линии образуется пучность электрического поля.

Можно показать (аналогично тому, как это сделано ниже для вектора ), что магнитное поле при этом имеет узел. Таким образом, на конце линии будет наблюдаться узел магнитного поля и пучность электрического, т. е. в стоячей электромагнитной волне узлы магнитного поля совпадают с пучностями электрического поля и наоборот. (Сравните с бегущей волной).

Режим «короткого замыкания».

При коротком замыкании линии на ее концах возникает дополнительный ток проводимости между проводниками линии, который возбуждает отраженную волну. Поскольку в месте короткого замыкания напряженность электрического поля , то фаза отраженной волны должна отличаться на от фазы падающей волны. В этом случае в (6) определится из соотношения .

Определяя координаты узлов и пучностей, найдем, что расположение их будет противоположным режиму «холостого хода», т. е. на конце линии будет узел электрического поля (и пучности магнитного).