6. Свёртки тензоров.

Пусть - тензор типа . Зафиксируем числа и , и определим свёртку по r-ому ковариантному индексу и s-ому контрвариантному индексу следующим образом. Т.к. , где , а , то можно определить сумму , где - базис , а - дуальный базис .

Определение. называется свёрткой тензора по r-ому ковариантному индексу и s-ому контрвариантному индексу.

Ясно, что - полилинейная функция от оставшихся аргументов, т.е. . Докажем, что не зависит от выбора базиса пространства .

Доказательство: пусть - другой базис пространства , а - матрица перехода от базиса к базису . Тогда . Напомним, что для дуальных базисов имеем: , где (смотри доказательство предыдущей теоремы). Зафиксируем для удобства все остальные переменные у кроме и , обозначим . Тогда . Получаем: .

Заметим, что - произведение i-ой строки матрицы на j-ый столбей матрицы . Т.к. эта сумма равна , .

23.04.2005

Связь координат тензора T и его свертки .

Теорема. Свертка по s-тому ковариантному и r-тому контравариантному индексам тензора T типа (p,q) является тензором типа (p-1,q-1) с координатами

То, что свертка – тензор типа - проверено. Пусть , где . Как и раньше, обозначим через . Обозначим . Тогда

.

Знак «домик» означает пропуск соотв. индекса (т.е. ). Соотношение (1) и есть утверждение теоремы.

Пример. Тензор типа (1,1) - это матрица . Его свертка равна - след матрицы A.

Действие симметрической группы на тензорах.

Пусть T – тензор типа , т.е. , и - группа подстановок множества . Для любой определим отображение . Ясно, что - тензор типа . Аналогично можно определить действие на .

Опр. Тензор T типа называется симметричным, если .

Ясно, что - линейный оператор на .

Опр. Симметризацией тензоров из называется отображение .

Пример. Возьмем подстановку . Тогда

. .

Обозначим через подпространство всех симметричных тензоров из .

Теорема. Действие симметризации на обладает следующими свойствами:

1) и 2) .

(а) Если T – симметричный тензор, то .

(б) Покажем, что симметризация любого тензора симметрична. . Из формулы получаем (т.к. ). Пункт (б) означает, что . Теперь из (а) следует, что и из (б) и (а) следует 1).

Кососимметричные тензоры

Опр. Тензор называют кососимметричным, если , где - знак подстановки. Эквивалентно, . Кососимметричные тензоры образуют подпространство в , которое принято обозначать .

Опр. Элементы (т.е. p раз контравариантные кососимметричные тензоры) называют внешними p-формами или внешними формами степени p на V.

Аналогично вводятся множество кососимметричных контравариантных тензоров на (название – q-вектора).

25.04.05

Опр. Отображение на пространстве (или ) называют альтернированием.

Теорема. Отображение A является линейным оператором на со следующими свойствами:

1) 2) 3)

1) Поскольку , то , учитывая, что и . При фиксированном и при , пробегающем все подстановки из произведение также пробегает . Поэтому и не зависит от . Следовательно .

2) Пусть . Тогда , а значит (по определению) - кососимметричный тензор, откуда и следует . Обратное включение следует из того, что для всякого кососимметричного тензора .

3) Равенство доказывается так же, как и равенство (см. пред. пункт).

Замечание. Отличие теоремы для только в том, что .