2. Канонический базис для ортогонального оператора.

Теорема. Пусть — ортогональный оператор в . Тогда существует ортонормированный базис, в котором матрица имеет вид:

(1) По лемме 1 (см. самосопряжённые операторы) у есть инвариантное подпространство . По лемме 5: . Следовательно, — инвариантные подпространства, или . Кроме того, не содержат инвариантных подпространств и . При этом .

(2) Пусть . Тогда и .

(3) , — ортонормированный базис , — матрица в этом базисе, по лемме 4. Тогда .

(а) Предположим, что . Вычислим :

. Отсюда корни на — вещественные, следовательно, существует собственный вектор в в есть 1-мерное — инвариантное подпространство. Противоречие.

(б) остался случай . Тогда

, поэтому . Значит, система имеет единственное решение. Подходит .

3. Полярное разложение.

Теорема. Пусть — невырожденный линейный оператор на евклидовом пространстве . Тогда существуют ортогональный оператор и самосопряжённый оператор с положительными собственными значениями, такие, что .

1) Положим, что , где * - сопряжённый к . Тогда . То есть самосопряжён.

2) Существует ортонормированный базис, в котором имеет матрицу . Пусть — одно из собственных чисел , и — собственный вектор. Тогда . Отсюда и , то есть все — положительны.

3) Существует самосопряжённый оператор с матрицей в том же базисе. Ясно, что и — невырожденный.

4) Положим . Тогда так как . То есть ортогонален.

Тем самым мы доказали существование полярного разложения.

Унитарные пространства

1. Эрмитовы (полуторалинейные) формы.

Пусть — линейное пространство над .

Определение. — эрмитова форма на , если , причём:

1)

2) (комплексное сопряжение).

Следствие 1. .

Следствие 2. .

Следствие 3. .

Следствие 4. .

2. (Эрмитово) скалярное произведение.

Пусть — комплексное пространство.

Определение. Скалярное произведение на — эрмитова положительно определённая форма. Обозначение: . Положительная определённость: из .

3. Ортогональность.

Пусть — унитарное пространство, то есть комплексное пространство со скалярным произведением.

Определение. и ортогональны, если .

Теорема. В конечномерном унитарном пространстве можно выбрать ортонормированный базис, т.е. .

Пусть — произвольный базис . Возьмём любой . Умножая на (вещественный) скаляр, можно считать . Пусть теперь . Тогда — уравнения с неизвестными . Так как , то — подпространство в , . По индукции ( ) в есть ортонормированный базис . Положив, , получаем ортонормированный базис в .

4. Унитарные и эрмитовы матрицы.

Пусть — комплексная матрица .

Обозначим: ( — комплексное сопряжение).

Определение. Матрица — эрмитова, если .

Матрица — унитарная, если .

Теорема. Пусть — матрица перехода от одного ортогонального базиса к другому ортогональному базису. Тогда унитарна.

Пусть — матрица перехода от к . Если , то . Если — элементы -ого столбца , то — элементы -ой строки у матрицы .

Произведение -ой строки на -ый столбец равно . Но это есть , так как . Поэтому , так как базис ортонормирован. Следовательно, и — унитарная матрица.