7.5. Модели инфляции в коммерческих операциях

Инфляция характеризуется обесценением национальной ва­люты, снижением ее покупательной способности и общим повы­шением цен в стране. При наличии инфляции инвестор может потерять часть дохода, а заемщик может выиграть за счет пога­шения задолженности деньгами сниженной покупательной спо­собности. На этом основании необходимо установить количе­ственные соотношения по определению влияния инфляции на показатели финансово-коммерческих операций.

Следует заметить, что если наблюдается общее снижение цен, то происходит дефляция.

Все показатели финансово-коммерческих операций можно разделить на две группы: номинальные, рассчитанные в текущих ценах, и реальные, учитывающие влияние инфляции, рассчитан­ные в сопоставимых ценах базового периода.

Для оценки упомянутых процессов формируют определенный набор товаров и услуг, называемый потребительской корзиной, и фиксируют изменения ее стоимости в различные моменты времени.

Состав потребительской корзины математически можно представить в виде n-мерного вектора товаров:

= (x₁, x₂, x₃, ..., x_i, …, x_n),

где х_i - количество i-ro вида товара или услуги в корзине;

п - количество товаров и услуг потребительской корзины.

В базовом периоде t₀ цены состава потребительской корзины можно представить в виде n-мерного вектора

= ,

а в анализируемом периоде t_j - соответственно вектором

=

Тогда стоимость потребительской корзины описывается ска­лярным произведением этих векторов:

S = · .

Стоимость корзины в базовом периоде t₀ составит

S₀ = .

а в анализируемом периоде t_j -

S_j = .

На этом основании полагают, что изменение (рост или паде­ние) потребительских цен определяется безразмерным показате­лем, называемым индексом инфляции, который показывает, во сколько раз выросли цены:

I_и = ,

а относительная величина уровня инфляции есть темп инф­ляции

α = α_0,j = ,

откуда следует, что индекс инфляции равен:

I_и = 1 + α.

Уровень инфляции определяют в процентах:

α % = .

Индекс инфляции показывает, во сколько раз выросли цены, а уровень инфляции - на сколько процентов выросли цены за рас­сматриваемый период. При проведении исследования стоимость потребительской корзины фиксируется через, например, равные промежутки времени: t₀, t₁, t₂, t₃, …, t_i,…, t_N, что можно записать таким образом - S₀, S₁, S₂, S₃, ..., S_l, ..., S_N.

Аналогично для темпов инфляции на этих интервалах -

Тогда можно записать следующие уравнения связи между членами ряда

S₁ = S₀(1 + ) S₂ = S₁ (1 + ) S₃ = S₂ (1 + )

После соответствующих подстановок получим

S₃ = S₀(1 + ) (1 + ) (1 + ).

На этом основании нетрудно записать выражение для опре­деления стоимости потребительской корзины в общем виде

S_N = S₀· ,

тогда индекс инфляции за весь период будет равен:

I_и = .

Кроме того показано, что индекс инфляции связан с темпом инфляции выражением

I_и = 1 + α,

откуда можно определить темп инфляции за весь период:

α = I_и – 1 = .

Следует заметить, что при равенстве значений темпов инф­ляции на всех интервалах

α _0,1 = α _1,2 = α _2,3 = α _3,4 = _… = α _N-1,N = α _1.

индекс инфляции определяется по формуле

I_и = (1 + α ₁)^N.

Рассмотрим различные варианты начисления процентов с учетом инфляции.

Для простых процентов обозначим i_α ставку процентов, учи­тывающую инфляцию. Тогда для наращенной суммы имеем вы­ражение

S_α = P(1 + n·i_α).

Кроме того, если воспользоваться уравнением связи S_α с S через индекс инфляции:

S_α = S · I_и = P(l + n·i) I_и,

то можно записать такое уравнение

Р(1 + n·i_α) = Р(1 + n·i) I_и,

откуда получим модель определения ставки простых процен­тов, учитывающей инфляцию:

i_α = _.

Реальная доходность операции по ставке простых процентов при заданных i_α и I_и определяется по формуле

i = .

Для сложных процентов аналогично запишем два выражения

S_α = P(1 + i_cα)ⁿ; S_α = P(1 + i_c)ⁿ · I_и ,

из которых получим

i_cα = (1 + i_c) -1.

Эту формулу можно записать так:

i_c = -1 = - 1,

по которой можно сравнивать i_cα и α (больше, равно, меньше), проводить экономический анализ эффективности вложений и установить, поглощается ли доход инфляцией или происходит реальный прирост вложенного капитала, а не убыток.

При начислении процентов несколько раз в году запишем аналогичные модели:

S = P ; S = P ,

откуда получим выражение для номинальной сложной про­центной ставки, учитывающей инфляцию:

j_α = m ,

а также уравнение для определения номинальной ставки:

j = m· .

Приведенные модели позволяют проводить взаиморасчеты с клиентами по показателям в контрактах с учетом инфляции.

Пример 1. Определите ожидаемый уровень инфляции за год при ежемесячном уровне инфляции 6%.

Решение. α% = 6%, α = 0,06, N =12.

Индекс инфляции за год составит

I_и = (1 + α)^N = (1 + 0,06)¹² = 2,012;

уровень инфляции за год -

α = I_и -1 = 2,012 -1 = 1,012; α % = 101,2%.

Пример 2. Определите уровень инфляции за полгода, если уровни инфляции по месяцам составили соответственно: 10,15, 12, 9, 4,13%.

Решение. Индекс инфляции за полгода составляет

I_и = (1 + α₁)(1 + α₂)(1 + α₃)(1 + α₄)(1 + α₅)(1 + α₆) =

= (1 + 0,1)·(1 + 0,15)·(1 + 0,12)·(1 + 0,09)·(1 + 0,14)·(1 + 0,13) =

= 1,1·1,15·1,12·1,09·1,14·1,13 = 1,989;

темп и уровень инфляции за полгода соответственно составляет

α = I_и - 1 = 1,989 - 1 = 0,989; α % = 98,9%.

Пример 3. Банк выдал клиенту кредит на один год в размере 2 тыс. руб. по ставке 6% годовых. Уровень инфляции за год со­ставил 40%. Определите с учетом инфляции реальную ставку процентов по кредиту, погашаемую сумму и сумму процентов за кредит.

Решение. Р = 2000 руб.; i = 0,06; α = 0,4; n = 1.

Сумма погашения кредита с процентами без учета инфляции составит

S = P(l + ni) = 2000·(l + 0,06)= 2120 руб.;

сумма процентов -

P·n·i = 2000·1·0,06 = 120 руб;

возвращаемая сумма с процентами, приведенная к моменту оформления кредита с учетом инфляции, -

P_α = = 1 514 руб. 29 коп.;

реальный доход банка -

Д = Р_α - Р = 1 514,29 - 2 000 = 485 руб. 71 коп.,

что свидетельствует об убытке этой операции;

чтобы обеспечить доходность банку в размере 6% годовых, ставка процентов по кредиту с учетом инфляции должна быть равна:

i_α = = 0,06+0,4+0,06 • 0,4 = 0,484;

i_α % = 48,4%;

погашаемая сумма должна составлять

S_α = P(1 + i_α) = 2000·(l+0,484)= 2968руб.;

реальный доход банка -

Д = Р_α - Р = = = 120руб.,

что обеспечит реальную доходность операции 6% годовых.

Пример 4. Вклад 1000 руб. положен в банк на полгода с еже­месячным начислением сложных процентов по номинальной ставке 120% годовых. Определите реальный доход вкладчика, если ожидаемый ежемесячный уровень инфляции -15%.

Решение. Р = 1000 руб.; n = 0,5; т =12; j = 1,2; α = 0,15.

Индекс инфляции за полгода составит

I_и = (l + α)⁶ = (l+0,15) ⁶ = 2,313;

уровень инфляции -

α = I_и -1 = 2,313 - 1,0 = 1,313, α% = 131,3%;

наращенная сумма вклада с процентами -

S = P· = 1000·(l + 0,l)⁶ = 1771 руб. 56 коп.;

сумма вклада с процентами, приведенная к моменту его офор­мления, -

Р_α = = 765руб. 91 коп.;

реальный доход вкладчика составит

Д = Р_α - Р = 765,91 - 1 000 = - 234 руб. 9 коп.,

следовательно, вкладчик понесет убытки с позиций покупа­тельной способности получаемой суммы в банке.