7.2. Модели развития операций по схеме сложных процентов

В финансово-коммерческих операциях используется схема сложных процентов, если начисляемый процент (I) - (доход от капитала) суммируется с исходным капиталом (Р), и на следую­щем интервале начисления процент начисляется уже от всей об­разовавшийся суммы (Р + I). Этот вариант иногда называют ка­питализацией, или реинвестированием, или проценты на процен­ты. В этом случае сумма накопленного капитала составит:

к концу первого года:

S₁ = P + P·i_c = P·(l + i_c),

где i_c - относительная величина годовой ставки сложных ссудных про­центов;

к концу второго года:

S₂ = S₁ + S₁.i_c = S₁· (1 + i_c) = P·(1 + i_c)²;

к концу третьего года:

S₃ = S₂·(l + i_c) = P·(l + i_c)³;

к концу n-го года:

S_n = Р·(1 + i_c )ⁿ = Р·k_нс,

где k_нс - коэффициент наращения; k_нс = (1 + i_c)ⁿ.

Таким образом, накопление капитала по схеме сложных про­центов образует возрастающую числовую последовательность: S₀, S₁, S₂, S₃, ..., S_n, которая представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом b₀ = S₀ - Р и знаменателем q = 1 + i_c. В соответствии с этим можно записать формулу для определения любого ее члена:

S_n=b₀ - qⁿ = P(l + i_c)ⁿ .

Таким образом, получена модель наращения по формуле сложных процентов:

S = Р(1 + i_c) ⁿ = Р(1 + i_c) = Р·k_нс,

где t - срок контракта в днях;

k_нс - коэффициент наращения.

Выводим формулы для определения таких показателей фи­нансовой операции, как

величина первоначальной суммы -

P = =

(математическое дисконтирование при начислении сложных про­центов);

относительная величина процентной ставки -

i_c = - 1

(одна из наиболее применяемых формул, используется для нахож­дения так называемой эффективной ставки сложных процентов, характеризующей доходность финансовой операции);

количество интервалов начисления (лет) -

n = ;

период начисления процентов в днях -

t = K· ;

продолжительность года в днях –

K = ;

коэффициент наращения -

k_нс = (1 + i_c)ⁿ = (1 + i_c) .

Если на протяжении всего срока контракта процентная став­ка изменяется, то получим другую математическую модель опре­деления наращенной суммы:

S = P(1+i_C )ⁿ (1+i_C )ⁿ ...(1+i_C )ⁿ …(1+i_C )ⁿ = P ⁿ ,

где n_l - 1-й интервал начисления процентов, l = ;

L - количество интервалов начисления;

k_нс = ⁿ - коэффициент наращения.

Начисление сложных процентов может осуществляться не­сколько раз в году: по месяцам, кварталам, полугодиям. В таких случаях указывается ставка на периоде, а наращенная сумма на­ходится по формуле

S = P·(1 + i_n)^N,

где i_n - ставка на периоде начисления;

N - количество интервалов начисления в течение срока действия контракта.

В случае когда начисление сложных процентов осуществ­ляется через равные промежутки времени п, указывается номи­нальная годовая процентная ставка j, пользуются следующей формулой:

S = P ^mn,

где т - количество интервалов начисления за год;

n - срок контракта в годах;

N = m·n - количество интервалов начисления за весь срок контракта.

На практике применяется еще и непрерывное начисление про­центов по номинальной годовой процентной ставке j. В этом случае величину наращенной суммы находят из следующего выражения:

S = .

Затем при переходе к пределу при m , используя извест­ную формулировку второго замечательного предела:

= e,

получим такое уравнение:

следовательно, для определения наращенной суммы имеем формулу

S = Р·е = Р· k_нс,

где k_нс = е - коэффициент наращения при непрерывном начислении процентов по номинальной годовой ставке j.

Приведенные модели позволяют проводить вычисления раз­личных показателей финансовых операций.

Пример 1. Коммерческие банки С и D начисляют доход один раз в полгода, причем банк С по простой ставке, а банк D по слож­ной ставке процентов. Через год в этих банках средства инвесто­ра увеличиваются на 60%. В какой банк выгоднее положить день­ги на полгода и в какой - на полтора года?

Решение. По условию задачи коэффициенты наращения бан­ков С и D равны, поэтому k_н = k_нс = 1,6, откуда для банка С став­ка простых процентов определяется из выражения

k_н =1 + ni = 1 + 2i = 1,6 i = = 0,3 = 30%.

Для банка D ставка сложных процентов составляет

k_нс = (1 + ni)² = 1,6 i_c = -1 = 0,265 = 26,5% .

Следовательно, выгоднее положить деньги на полгода в банк С.

Для сравнения результатов финансовых операций с банками С и D можно составить следующую таблицу.

t	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4
п	1	2	3	4	5	6	7	8
kн	1,3	1,6	1,9	2,2	2,5	2,8	3,1	3,4
kнс	1,265	1,6	2,02	2,56	3,24	4,1	5,18	6,56

Из данных таблицы следует, что на полтора года (как и вооб­ще на любой срок свыше года) выгоднее положить деньги в банк D, поскольку k_нс = 2,02 > k_н = 1,9 .

Пример 2. М. Е. Салтыков-Щедрин описывает в «Господах Головлевых» такую сцену: «Порфирий Владимирович... сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными вкладками листы бума­ги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него те­перь денег, если б маменька... подаренные ему при рождении де­душкой... на зубок сто рублей... не присвоила себе, а положила бы вкладом в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: восемьсот рублей...»

Определите сложную ставку процентов годовых ломбарда по вкладам, если Порфирию в момент его расчетов было 50 лет.

Решение. п = 50; Р = 100 руб.; S = 800 руб.

По формуле сложных процентов наращенная сумма равна:

S = Р(1 + i_c)ⁿ,

откуда ставка сложных процентов составит

i_{c =} = = 0,0425 4,25%.

Пример 3. Знаменитый американский ученый и государ­ственный деятель Бенджамин Франклин завещал жителям горо­да Бостона 1 тыс. фунтов стерлингов на следующих условиях:

деньги давать под 5% годовых молодым ремесленникам;

через 100 лет из накопленных денег (с учетом процентов на проценты) 100 тыс. фунтов стерлингов пустить на строительство общественных зданий;

оставшиеся после этого деньги отдать под те же проценты еще на 100 лет;

по истечении этого срока накопленную сумму разделить меж­ду бостонскими жителями и правлением Массачусетской общи­ны, которой передать 3 млн фунтов стерлингов.

Сколько денег должно было достаться бостонским жителям через 200 лет после смерти Б. Франклина (он умер в 1790 г.)?

Решение. Р = 1000 ф. ст., I_с = 5%, п =100 лет.

1. Завещанный капитал через 100 лет составил:

S = 1000(1+0,05)¹⁰⁰ = 131501 ф. ст.

2. После выделения 100 000 ф. ст. на постройку обществен­ных зданий осталось:

131501 - 100000 - 31501 ф. ст.

3. Через 100 лет наращенный капитал составил:

S = 31501 ּ(1+0,05)¹⁰⁰ = 4142 421 ф.ст.

4. Бостонским жителям из этой суммы после вычета 3 млн ф.ст. осталось:

4 142 421 - 3 000 000 - 1142 421 ф. ст.

Пример 4. Начисление процента на сумму срочного вклада с условием ежемесячной капитализации процентов.

Банк 20.07 заключает с вкладчиком договор срочного вклада на 3 месяца (срок возврата вклада - 20.10). Сумма вклада -15 тыс. руб. Процентная ставка - 22%. 20-го числа каждого месяца дей­ствия договора производится капитализация начисленных процен­тов. Переоформление вклада по окончании срока действия дого­вора на ранее действовавших условиях срочного вклада договором не предусматривается. Выплата причисленных к сумме вклада процентов осуществляется по истечении срока действия договора.

В течение срока действия договора банк трижды - 20.08,20.09 и 20.10 производит капитализацию начисленных процентов во вклад. 20.10 - срок окончания договора срочного вклада, вклад­чик не явился за вкладом в установленный договором срок. В этот же день после окончания операционного дня банк переоформляет указанный срочный вклад во вклад «до востребования».

Вкладчик 28.10 получает сумму вклада «до востребования» и начисления за период с 20.10 по 27.10 включительно (8 кален­дарных дней) проценты по установленной ставке 4%.

Полный срок срочного вклада (20.07-20.10) - 93 календар­ных дня (n), период начисления процентов по ставке срочного вклада - 22% (20.07-19.10) - 92 календарных дня (n - 1).

Полный срок вклада до востребования (20.10-28.10) - 9 ка­лендарных дней (n), период начисления процентов по ставке вкла­да «до востребования» - 4% (20.10-27.10) - 8 календарных дней.

Порядок начисления банком процентов на сумму вклада:

сумма срочного вклада на 21.08 (с капитализацией процен­тов, начисленных за период с 20.07 по 19.08 включительно):

15000руб.+ = 15280руб.27коп;

сумма срочного вклада на 21.09 (с капитализацией процен­тов, начисленных за период с 20.08 по 19.09 включительно):

15280,27руб.+ = 15565руб.78коп;

сумма срочного вклада по состоянию на конец операционно­го дня 20.10 (с капитализацией процентов, начисленных за период с 20.09 по 19.10 включительно), в конце рабочего дня 20.10 и переоформленного во вклад «до востребования»:

15565,78руб.+ = 15856руб.63 коп.

сумма начисленных на вклад «до востребования» процентов (за период с 20.10 по 27.10 включительно):

15 856,63 руб.· = 13 руб.90 коп.

Таким образом, общая сумма возврата денежных средств вкладчику составит на 28.1015870 руб. 53 коп., из которых 15856 руб. 63 коп. - сумма срочного вклада с учетом капитализирован­ных процентов и 13 руб. 90 коп. - проценты, начисленные за вре­мя, прошедшее с момента переоформления указанного срочного вклада во вклад «до востребования».

Пример 5. Начисление процентов на сумму срочного вклада по формуле сложных процентов.

Банк 05.09 заключает с вкладчиком договор срочного банков­ского вклада на 21 день (срок возврата вклада - 26.08). Сумма вклада - 15 тыс. руб. Процентная ставка - 15%. По условиям договора начисленные по итогам каждого дня срока действия де­позита проценты увеличивают сумму вклада.

Полный срок вклада (05.08-26.08) - 22 календарных дня (n), период начисления процентов по вкладу (05.08-25.08) - 21 ка­лендарный день (п - 1).

26.08 банк возвращает вкладчику вклад (с учетом ежеднев­ной капитализации процентов) в сумме:

15000руб.· = 15129руб.99коп.

Пример 6. Банк выдал коммерческому предприятию 16.08 валютный кредит под контракт на покупку товаров, на сумму 10 000 долл. США, срок кредита 2 месяца (до 16.10); ставка про­центов - 35% годовых за полное количество календарных дней из расчета 360 дней в году, при подсчете количества дней в периоде граничные дни (первый и последний) считаются за 1 день; порядок выплаты кредита: 16.09 - проценты за первый месяц, 16.10 - проценты за второй месяц и сумма кредита; штрафные санкции по ставке сложных процентов составляют 0,5% от про­сроченных сумм кредита за каждый день просрочки. Очеред­ность погашения просроченной задолженности: в первую оче­редь погашаются начисленные штрафы, затем сумма процентов и сумма кредита.

Фактически 16.09 клиент погасил проценты за первый ме­сяц кредита. Далее кредит погашался в следующей последова­тельности: 22.10 клиент перевел 2600 долл. США в счет погаше­ния задолженности; 25.10 клиент перевел 3100 долл. США в счет погашения задолженности, а 30.10 клиент заявил, что готов погасить свою задолженность в полном объеме.

Определите величину задолженности клиента на 30.10.

Решение. Определяем:

сумму задолженности на 16.10 -

S₁ = P(1 + i·n) = l0000 = 10291,67 долл.;

сумму задолженности на 22.10 до внесения первой суммы на погашение -

S₂ = 10291,66+10000 · ·6 =10591,66 долл.