3. Работа перемещения заряда в электрическом поле.
Потенциал. Разность потенциалов
Основные формулы
♦ Потенциал электрического поля
равен отношению потенциальной энергии
заряда
в этом поле к модулю этого заряда
.
(3.1)
♦ Потенциал электрического поля, создаваемый точечным зарядом на расстоянии от заряда
, (3.2)
где
– электрическая постоянная;
– диэлектрическая проницаемость
однородного безграничного диэлектрика,
окружающего сферу.
♦ Потенциал электрического поля, созданного системой точечных зарядов в данной точке, равен алгебраической сумме потенциалов полей, созданных в этой точке каждым зарядом:
.
(3.3)
♦ Потенциал электрического поля, создаваемого металлической заряженной сферой радиусом , на расстоянии от центра сферы:
,
;
(3.4)
,
.
(3.5)
♦ Разность потенциалов
(или
)
между двумя точками электрического
поля равна отношению работы перемещения
заряда из одной точки поля в другую, к
величине этого заряда.
.
(3.6)
♦ Работа, совершаемая силами поля по перемещению заряда из точки 1 в точку 2:
,
(3.7)
где
– проекция вектора силы
на направление
;
– проекция вектора напряжённости
на направление
;
при этом интегрирование производится
вдоль любой линии, соединяющей точки
и
.
♦ Потенциал связан с напряжённостью электрического поля соотношением
.
(3.8)
В случае, если поле обладает сферической симметрией, эта связь выражается формулой
(3.9)
или в скалярной форме
.
(3.10)
В случае однородного поля
,
(3.11)
где
и
– потенциалы точек двух эквипотенциальных
поверхностей;
–
расстояние между этими поверхностями
вдоль электрической силовой линии.
♦ Разность потенциалов и напряжённость связаны формулой
.
(3.12)
♦ Энергия взаимодействия
системы точечных зарядов
,
,
…,
выражается формулой
,
(3.13)
где
– потенциал поля, создаваемого всеми
зарядами (за исключением
-го)
в точке, где расположен заряд
.
♦ Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов, находящихся на расстоянии ,
.
(3.14)
Методические указания
В отличие от напряжённости потенциал не векторная, а скалярная величина. Причём потенциал – величина алгебраическая, т.е. он может быть как положительным, так и отрицательным. Потенциал поля, созданного положительным зарядом в некоторой точке окружающего пространства, тоже положителен, а потенциал поля, созданного отрицательным зарядом, тоже отрицателен. Потенциал поля, созданного в данной точке системой положительных и отрицательных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов полей, созданных каждым зарядом в отдельности с учётом их знаков.
Ф
а б
Рис. 3.1
.
При этом же условии справедливы формулы
(3.2), (3.4) и (3.5). При решении задач, связанных
с определением потенциала электрического
поля шарового проводника или величин,
зависящих от потенциала, следует помнить,
что потенциал каждой точки поля внутри
проводника с неподвижными на его
поверхности зарядами одинаков. Например,
на рис. 3.1, а потенциал поля в
точках 1 и 2
внутри сферы радиусом
,
несущей заряд
,
одинаков и равен
.
Если внутрь сферы поместить заряд
(рис. 3.1, б), то результирующий потенциал
точек внутри сферы (если заряд
расположен в центре сферы) будет равен
сумме потенциалов: потенциалу поля
заряда
и потенциалу поля
заряда сферы
.
Тогда результирующий потенциал в точке
1
,
а результирующий потенциал в точке 2:
.
Следует помнить, что при помещении проводника в электрическое поле, в результате явления электростатической индукции изменяются потенциал и напряжённость поля в пространстве вокруг проводника. Только если известно распределение всех зарядов, в том числе и зарядов, индуцированных на проводнике, можно найти потенциал в данной точке поля. В курсе общей физики обычно ограничиваются случаями, в которых в силу симметрии можно найти распределение индуцированных зарядов на проводнике или пренебречь этим распределением.
В основе общего метода определения разности потенциалов лежит соотношение (3.12), связывающее разность потенциалов двух точек поля с напряжённостью поля в пространстве между этими точками. Интегрирование в этом случае можно производить по любому пути, соединяющему две точки.
Примеры решения задач
Задача 1. В точке 1 поля точечного
заряда потенциал
В,
а в точке 2
В.
Найти потенциал
в точке
,
лежащей посередине между точками 1 и 2
(рис. 3.2).
Р
ешение.
Потенциал поля точечного заряда определяем по формуле: .
Применительно к точкам 1, 2 и эту формулу можно записать так:
;
(1)
; (2)
. (3)
Разделим (1) на (2) и (1) на (3), получим:
; (4)
.
(5)
Выразим из уравнения (4) величину :
.
(6)
Выражение (6) подставим в (5):
,
откуда следует:
.
Подставим числовые значения и произведём вычисления:
Задача 2. В трёх вершинах квадрата
со стороной
см находятся заряды 10 нКл, 20 нКл и –20
нКл. Определить потенциалы
и
электрического поля, созданного этими
зарядами в четвёртой вершине квадрата
и в его центре.
Р
ешение.
В данной задаче рассматривается система зарядов , и , два из которых положительные, а один – отрицательный.
Согласно принципу суперпозиции полей
потенциал поля, созданного системой
зарядов в точке
(рис. 3.3), будет равен:
,
а в точке
потенциал равен:
.
Потенциал поля точечного заряда определяется соотношением .
Применительно к данной задаче
,
,
,
,
,
.
Расстояние
находим по теореме Пифагора
.
Из математики известно, что диагонали квадрата в центре его делятся пополам, кроме того, диагонали квадрата равны, поэтому
.
Следовательно, потенциалы и будут равны:
;
.
Выразим в системе СИ все величины,
входящие в полученные формулы,
м,
Кл,
Кл,
Кл,
(воздух),
.
Выполнив вычисления, получим:
В;
В.
Задача 3. Тонкий диск радиуса
равномерно заряжен с поверхностной
плотностью
.
Найти потенциал поля в точке
,
лежащей на оси диска на расстоянии
от него (рис. 3.4)
Решение.
З
аряженный
диск в данной задаче нельзя считать
точечным зарядом, поэтому для нахождения
потенциала
поля, созданного диском в точке
,
воспользуемся принципом суперпозиции
полей. Для этого разобьём диск на
элементарные кольца радиуса
и толщиной
.
Заряд такого кольца
,
где
– это площадь выделенного кольца,
которая будет
.
Следовательно
.
Потенциал поля, созданного зарядом
в точке
,
будет определяться соотношением
.
Расстояние находим по теореме Пифагора:
.
Следовательно,
.
Интегрируя последнее выражение, находим потенциал поля в точке , созданного заряженным диском,
.
Задача 4. Две концентрические
металлические сферы радиусами
см
и
см
имеют соответственно заряды
и
нКл.
Пространство между сферами заполнено
эбонитом
.
Определить потенциал
электрического поля на расстояниях
см,
см и
см от центра сфер.
Р
ешение.
По теореме Гаусса напряжённость поля
в точках
,
и
будет:
,
.
Так как в нашем случае потенциал
непрерывен, то, используя связь (3.10)
между напряжённостью и потенциалом,
можно было бы определить значения
потенциала в любой точке, если бы был
известен потенциал в какой-либо точке.
Таким известным потенциалом является
потенциал в точке
:
,
так как он создается свободными зарядами
(между сферами имеются еще связанные
заряды), или потенциал на поверхности
второй сферы
.
Проинтегрируем выражение
,
где
,
по
в пределах от
до
,
получаем
.
Отсюда определяем потенциал
в точке
:
.
Интегрируя
в пределах от
до
,
находим
,
отсюда определяем
:
.
Выразим все величины в системе СИ:
м,
м,
Кл,
Кл,
,
м,
м,
м.
Выполнив вычисления, получим:
.
Задача 5. Заряд равномерно распределён по объёму шара радиуса . Полагая диэлектрическую проницаемость всюду равной единице, найти потенциал: a) в центре шара; б) внутри шара, как функцию расстояния от его центра.
Решение.
Потенциал поля равен работе
электростатических сил при переносе
единого положительного заряда из данной
точки в бесконечность, т. е.
,
где
– напряжённость поле заряженного шара.
Напряженность поля
внутри шара определяем по теореме
Гаусса:
,
где
– объёмная плотность заряда,
– элементарный объём, выделенный внутри
шара;
– площадь гауссовой поверхности;
– электрическая постоянная.
Произведя интегрирование, получаем:
.
Объёмная плотность заряда
,
тогда
.
Поле вне шара определяется формулой
.
Следовательно, потенциал точки r
,
откуда потенциал в центре шара
.
Задача 6. Какую работу нужно
совершить, чтобы переместить точечный
заряд
Кл
внутрь металлической заряженной сферы
радиусом 0,15 м, имеющей заряд
Кл,
из точки, находящейся на расстоянии
0,24 м от поверхности сферы в точку,
удалённую от неё на 0,05 м? В обоих случаях
считать, что заряд равномерно распределён
по сфере.
Решение.
1
)
Работа внешних сил по перемещению заряда
из одной точки поля в другую равна по
модулю работе электрического поля
по перемещению заряда, но противоположна
ей по знаку, т.е.
,
работа сил электрического поля равна убыли потенциальной энергии взаимодействия зарядов. В данном случае точечный заряд взаимодействует с зарядом сферы.
,
тогда
Учитывая, что электрическое поле внутри заряженной сферы отсутствует, а потенциал самой сферы и любой точки внутри неё одинаков и, следовательно, работа кулоновских сил при перемещении точечного заряда внутри сферы равна нулю, получаем:
,
(1)
где
– потенциальная энергия взаимодействия
зарядов, когда заряд
находится вблизи поверхности сферы,
– потенциальная энергия зарядов, когда
заряд
находится в начальном положении.
Подставляя числовые значения физических
величин в формулу (1) и учитывая, что
,
получаем:
.
Во втором случае потенциальная энергия взаимодействия зарядов будет
,
следовательно,
.
Произведём вычисления:
.
Задача 7. Альфа-частица, вылетающая
при радиоактивном распаде из ядра атома
радия со скоростью
м/с,
движется к неподвижному ядру натрия.
На какое наименьшее расстояние приблизится
– частица к этому ядру?
Решение.
Систему «ядро натрия – -частица» можно считать замкнутой и консервативной и применить к ней закон сохранения энергии.
Полная энергия частицы, движущийся в
потенциальном поле ядра натрия, будет
равна сумме кинетической
и потенциальной
энергий:
,
где
,
.
Потенциальная энергия частицы при
бесконечном удалении её от заряда,
создающего поле, стремится к нулю, т.е.
.
Движение возможно до тех пор, пока
частица обладает кинетической энергией.
При приближении к ядру кинетическая
энергия
-частицы
уменьшается и на расстоянии
.
Однако по мере приближения к ядру будет
возрастать потенциальная энергия до
значения
.
Согласно закону сохранения энергии
, т. е.
,
или
,
откуда следует:
,
где
– масса
-частицы,
–
заряд
-частицы,
–
заряд ядра натрия,
–
минимальное расстояние, на которое
– частица приблизится к ядру.
;
;
;
,
– элементарный заряд.
Подстановка числовых данных даёт:
м.
Задача 8. Два заряда
нКл
и
нКл расположены в вершинах
и
прямоугольника
(рис. 3.7) на расстоянии
см друг от друга. Из вершины
в вершину
этого прямоугольника перемещают заряд
нКл. Какая работа совершается при этом
перемещении? Сторона
см, среда – воздух.
Решение.
К
аждый
из зарядов создаёт в вершинах
и
электрическое поле. Потенциал поля
,
созданный в точке с зарядом
,
,
а зарядом
в этой же точке:
.
Суммарный потенциал поля
в точке
определяется по принципу суперпозиции:
,
(1)
где
– длина диагонали прямоугольника.
Потенциалы полей
и
,
созданных зарядами
и
в точке
:
.
Общий потенциал точки :
.
(2)
Работа сил электрического поля при перемещении заряда из вершины в вершину определяется выражением
.
(3)
С учётом формул (1) и (2) выражение (3) запишем в виде
Выразим все величины, входящие в данное уравнение, в системе СИ:
Кл;
Кл;
м;
м;
Кл;
;
.
Подстановка числовых значений даёт
,
Знак «–» означает, что работу совершают внешние силы.
Задача 9. Два маленьких шарика с
зарядами
и
соединены между собой лёгким непроводящим
стержнем длиной
.
Стержень расположен вдоль силовых линий
однородного электрического поля,
созданного большой заряженной плоскостью,
по которой равномерно распределён заряд
с поверхностной плотностью
.
Какую работу нужно совершить, чтобы
повернуть стержень на угол
?
Решение.
Р
абота
сил электрического поля равна убыли
потенциальной энергии зарядов
и
в поле заряженной плоскости:
,
где
– потенциальная энергия зарядов в
начальном состоянии;
и
– потенциалы точек поля, в которых
располагаются заряды
и
;
– потенциальная энергия зарядов после
поворота на угол
(рис. 3.8).
Тогда
.
Разность потенциалов
найдём, используя взаимосвязь (3-10) между
напряжённостью поля
и потенциалом
:
,
где
– элементарное перемещение в направлении,
перпендикулярном плоскости.
Напряжённость поля заряженной плоскости
определяется формулой
,
поэтому
,
интегрируя данное выражение, получаем:
,
где
– расстояние между точками с потенциалом
и
.
Следовательно, работа будет
.
Работа внешних сил равна по модулю работе сил поля и противоположна ей по знаку:
.
Задача 10. Электрон пролетел по
силовой линии однородного электрического
поля из точки 1 с потенциалом
В,
имея скорость
м/с
в точке 1. Найти скорость электрона в
точке 2, изменение его кинетической и
потенциальной энергии.
Решение.
П
отенциал
точки 1 ниже потенциала точки 2,
следовательно, электрон движется в
сторону повышения потенциала, т.е. против
направления напряженности электрического
поля (рис. 3.9) На электрон будет действовать
ускоряющая сила со стороны поля, поэтому
скорость электрона (и кинетическая
энергия) будет увеличиваться.
Работа сил поля при перемещении электрона
из точки 1 в точку 2 равна изменению его
кинетической энергии:
,
где
,
,
работу поля можно также выразить через разность потенциалов:
,
где
– заряд электрона.
Следовательно, получаем выражение:
,
откуда
и
.
Изменение кинетической энергии
.
Изменение потенциальной энергии равно
работе электрического поля, взятой со
знаком «минус»:
.
Выразим величины в системе СИ:
В;
В;
м/с;
Кл;
кг.
Произведём вычисления и получим:
м/с;
Дж;
Дж.
Задача 11. Две частицы, имеющие
массу
и заряд
,
летят из бесконечности навстречу друг
другу со скоростями
и
.
На какое минимальное расстояние
сблизятся частицы, и как они будут
двигаться после этого?
Решение.
Силы взаимодействия двух заряженных
частиц являются для системы внутренними
силами. Внутренние силы не могут изменить
импульс системы, т. е.
.
Для минимального расстояния это выражение будет иметь вид
,
где
– скорость обеих частиц в этот момент
времени,
,
вектор
направлен вдоль вектора
.
Полная энергия системы
на бесконечности равна сумме кинетических
энергий
частиц:
.
На расстоянии
полная энергия
определяется суммой кинетической
энергии
центра масс системы и потенциальной
энергии кулоновского взаимодействия
частиц, т. е.
по закону сохранения энергии
или
,
,
откуда
Выразим :
,
где
.
После сближения на минимальное расстояние центр масс системы будет продолжать двигаться со скоростью . Обе частицы будут двигаться в противоположные стороны с одинаковыми относительно центра масс скоростями. Скорости частиц относительно центра масс будут со временем возрастать.
З
адача
12. Через блок переброшена лёгкая
проводящая струна длиной
.
На концах струны находятся два
металлических груза массами
и
.
Система приходит в ускоренное движение.
Определите разность потенциалов между
грузами. Трением на блоке и размерами
грузов пренебречь. Масса
и заряд электрона соответственно равны
и
.
Решение.
Рассмотрим движение грузов относительно неподвижной системы отсчёта. Запишем уравнения второго закона Ньютона для грузов (рис. 3.10):
;
.
В силу невесомости струны
,
а в силу нерастяжимости струны ускорения
обоих грузов равны
.
Поэтому в проекциях на ось уравнения движения грузов будут иметь вид
(1)
.
(2)
Вычтем из уравнения (2) уравнение (1):
,
отсюда следует:
.
(3)
С таким же ускорением движутся свободные электроны в струне и грузах. В момент начала ускоренного движения проводников (струны и грузов) электронный газ свободных электронов остаётся в покое относительно неподвижной системы отсчёта.
Движущиеся проводники смещаются относительно электронного газа. В результате в области груза образуется избыток свободных электронов, а в области груза – их недостаток. Поэтому потенциал груза повышается, груза – понижается, следовательно, между грузами и возникает разность потенциалов .
Разность потенциалов между грузами
примет неизменное значение в тот момент,
когда ускоряющая сила
со стороны электрического поля в
проводниках сообщит свободным электронам
ускорение
системы, т. е.
,
где – напряжённость поля между грузами, – модуль заряда электрона.
,
тогда
,
откуда следует
.
(4)
С учетом формулы (3) формула (4) принимает вид
.
Задачи для самостоятельного решения
3.1. Два заряда
Кл и
Кл находятся на расстоянии 10
друг от друга. Найдите: а) потенциал той
точки поля, где напряженность поля равна
нулю; б) напряженность поля зарядов в
той точке, где потенциал поля равен нулю
(точку считать расположенной на прямой,
проходящей через заряды).
3.2. Расстояние между двумя металлическими
пластинами, площадью 200 см2
каждая, находящимися в керосине, равно
1 см. Заряд левой пластины,
Кл заряд правой
Кл.
Определите разность потенциалов между
пластинами и скорость, с которой электрон,
случайно покинувший одну из пластин
,
достигнет другой пластины.
3
.3.
Проводящая сфера
радиусом
несёт положительный заряд
,
распределённый равномерно по ее
поверхности. В небольшое отверстие
в этой сфере вставлен бесконечно тонкий
стержень
с шариками радиусом
на концах (рис. 3.11). Найти заряд
на шариках.
3.4. Металлический шар диаметром
см
заряжен с поверхностной плотностью
зарядов
.
Найти потенциал
этого шара, если он окружен заземленной
проводящей сферой, имеющей общий с шаром
центр. Диаметр сферы
см. Среда – воздух.
3.5. Пылинка массой
кг удерживается в равновесии между
горизонтально расположенными обкладками
плоского конденсатора. Разность
потенциалов между обкладками 490 В, а
зазор между ними 1 см. Определить, во
сколько раз заряд пылинки больше
элементарного заряда.
3.6. Заряды
мкКл
и
мкКл находятся на расстоянии
см.
Определить напряжённость
и потенциал
поля в точке, удалённой на расстояние
см от первого заряда и лежащей на линии,
проходящей через
первый заряд перпендикулярно направлению
от
к
.
3.7. Электрическое поле образовано
бесконечно длинной заряженной нитью,
линейная плотность заряда которой
.
Определите разность потенциалов
двух точек поля, отстоящих от нити на
расстоянии
см и
см.
3.8. Тонкая квадратная рамка равномерно
заряжена с линейной плотностью заряда
.
Определить потенциал
поля в точке пересечения диагоналей.
3.9. Электрон, обладавший кинетической
энергией
,
влетел в однородное электрическое поле
в направлении силовых линий поля. Какой
скоростью будет обладать электрон,
пройдя в этом поле разность потенциалов
В?
3.10. В однородное электрическое поле
напряженностью
В/м влетает (вдоль силовой линии) электрон
со скоростью
Мм/с. Определите расстояние
,
которое пройдет электрон до точки, в
которой его скорость будет равна половине
начальной.
3.11. Какова потенциальная энергия системы
четырёх одинаковых точечных зарядов
нКл, расположенных в вершинах квадрата
со стороной
см?
3.12. Найти потенциальную энергию системы
трех точечных зарядов
нКл,
нКл и
нКл, расположенных в вершинах
равностороннего треугольника со стороной
длиной
см.
3.13. По тонкому кольцу радиусом 20 см
равномерно распределён заряд с линейной
плотностью
.
Найти потенциал в точке, лежащей на оси
кольца на расстоянии 10 см от центра.
3.14. Тонкий стержень длиной 15 см несёт равномерно распределённый заряд 1 нКл. Определить потенциал электрического поля в точке, лежащей на оси стержня на расстоянии см от ближайшего его конца.
3.15. На отрезке тонкого прямого проводника
равномерно распределен заряд с линейной
плотностью
.
Вычислить потенциал
,
создаваемый этим зарядом в точке,
расположенной на оси проводника и
удаленной от ближайшего конца отрезка
на расстояние, равное длине этого
отрезка.
3.16. Определить потенциал
в центре квадрата, образованного тонкими
стержнями длиной
.
Стержни заряжены с линейной плотностью
нКл/м.
3.17. Две концентрические металлические
сферы радиусами
см и
см имеют заряды,
нКл/м и
нКл/м. Найти потенциал
электрического поля на расстояниях
3 см, 8 см и 12 см от сфер. Пространство
между сферами заполнено воздухом.
3.18. Сто одинаковых капель ртути, заряженных
до потенциала
В,
сливаются в одну большую каплю. Каков
потенциал
образовавшейся капли?
3.19. Две круглые металлические пластины
радиусом
см
каждая, заряженные разноимённо,
расположены одна против другой параллельно
друг другу и притягиваются с силой
мН. Расстояние между пластинами
см. Определить разность потенциалов
между пластинами.
3.20. Пылинка массой
кг попадает в поле заряженного шарика,
имея скорость 10 см/с, направленную к
центру шарика. На какое расстояние
сможет приблизиться к шарику, заряд
которого
Кл?
3.21. Заряды
Кл находятся в вершинах при острых углах
ромба, составленного из двух равносторонних
треугольников со стороной
м, а заряд
Кл расположен в вершине при одном из
тупых углов ромба. Определить разность
потенциалов между четвёртой вершиной
ромба и точкой пересечения его диагоналей,
а также работу по перенесению заряда
Кл из четвёртой вершины ромба в эту
точку.
3.22. Поверхность нагретой, отрицательно
заряженной нити, электрон покидает со
скоростью
.
Какую скорость он будет иметь на
расстоянии
см
от неё? Линейная плотность заряда нити
Кл/м,
радиус нити
мм.
3.23. Длинный цилиндр радиусом
см равномерно заряжен с линейной
плотностью
,
-частица,
попавшая в поле цилиндра, перемещается
вдоль силовой линии от поверхности
цилиндра до точки, находящейся на
расстоянии 4 см от его поверхности. Как
при этом изменится энергия
-частицы?
3.24. Электрон с начальной скоростью
движется вдоль однородного поля плоского
конденсатора. Какова разность потенциалов
на обкладках конденсатора, если электрон
останавливается, пройдя путь
см. Расстояние между пластинами
см.
Сколько времени будет двигаться электрон
до остановки?
3.25. Между двумя горизонтальными и
разноимённо заряженными пластинами
расстояние
см.
Между ними падает с постоянной скоростью
заряженная капелька массой
г, когда на пластины подано напряжение
В.
Если же пластины отключить от источника
напряжения, то капелька падает вдвое
быстрее. Сила сопротивления воздуха,
действующая на капельку, прямо
пропорциональна скорости её падения.
Найти заряд капельки
.
3.26. Два параллельных тонких кольца радиуса расположены на расстоянии друг от друга на одной оси. Найти работу электрических сил при перемещении заряда из центра первого кольца в центр второго, если на первом кольце равномерно распределён заряд , а на втором – заряд .
3.27. Две бесконечные равномерно заряженные
плоскости с поверхностной плотностью
зарядов
и
расположены на расстоянии 20 см. Какую
работу совершит поле при перемещении
электрона от одной плоскости к другой?
3.28. Какую работу нужно совершить, чтобы
приблизить электрон из точки поля,
удаленной от цилиндра на расстояние 20
см, к поверхности бесконечного прямого
цилиндра радиусом 10 см, заряженного с
линейной плотностью
?
3.29. Заряженная бесконечная плоскость
и
заряженный бесконечный прямой провод
,
расположенный параллельно плоскости,
находятся на расстоянии
см друг от друга. Определить работу
электрического поля при перемещении
заряда
из точки поля
,
удаленной от провода на расстояние
см и от плоскости на расстояние
см,
в точку
,
удаленную от провода на расстояние
см и от плоскости на расстояние
см.
3.30. Электрическое поле создано точечным
зарядом
и прямым длинным проводом
,
удаленными друг от друга на расстояние
5 см. Определить работу по перемещению
заряда
из
точки
,
равноудаленной от заряда
и провода, в точку
,
лежащую на прямой, перпендикулярной
линии, соединяющей провод и заряд
и удаленной от провода на расстояние 4
см.