4)Сызықты теңдеулер жүйесі. Крамер ережесі.

n белгісізі бар m сызықтық теңдеулер жүйесі

түрінде беріледі, мұндағы -белгісіз шамалар, ал -сандар, жүйенің коэффиценттері, -бос мүшелер – берілген сандар.

Кронеккер-Капелли теоремасы. Егер сызықты теңдеулер жүйесінің негізгі матрицасы мен кеңейтілген матрицасының ранглері тең болса, онда жүйе үйлесімді болады.

Теорема бойынша жүйе үйлесімді болуы үшін болуы керек. Бұл кезде r жүйе рангісі деп аталады.

Крамер әдісімен шешу. Бұл әдіс жүйедегі теңдеулер саны мен белгісіздер саны тең болғанда, яғни m=n, қолдануға болады. Демек, жүйе түрі мынадай болады:

(4)

Жүйедегі теңдеулер саны мен белгісіздер саны тең, онда жүйе матрицасы квадрат матрица болады. Сол квадрат матрицаның анықтауышын деп белгілейік:

Крамер ережесі. -жүйе анықтауышы, ал - анықтауыштың j-тік жолын бос мүшелермен алмастырғаннан пайда болған анықтауыш болсын. Сонда, егер болса жүйенің жалғыз шешімі бар болады және мынадай формуламен табылады:

(i=1,2,…,n) формуланы Крамер формуласы деп атайды. Осы ережені қолданып мынадай жүйені шешейік

Шешуі. Алдымен анықтауышты есептейміз,

.т (j=1,2,3) анықтауыштарды есептейік

, ,

Енді Крамер формуласын қолданып белгісіздерді табамыз:

, , .

Сонымен, берілген жүйенің жалғыз (-1; 2; 3) шешімі табылды, жүйе анықталған екен.

5.Сызықты теңдеулерді шешу Гаусс әдісі

Гаусс әдісі - жүйедегі айнымалыларды түрлендірулер көмегімен біртіндеп жойып, жүйені сатылы түрге келтіріп, айнымалыларды біртіндеп табатын әдіс. Гаусс түрлендірулері мынадай:Кез келген екі теңдеудің орындарын ауыстырып жазу; Кез келген теңдеудің екі жағын нолден өзге санға көбейту; Қандай да бір теңдеуді нолден өзге санға көбейтіп, басқа теңдеуге сәйкесінше қосу; 0=0 түріндегі теңдеуді сызып тастау. Гаусс түрлендірулерін жүйенің өзіне қолданғаннан гөрі оның кеңейтілген матрицасына қолданған ұтымды болады. Олай болса жүйенің кеңейтілген матрицасын қарастырайық,Жүйенің рангісі жүйедегі белгісіздер санынан кем болса, онда жүйе анықталмаған болатыны жоғарыда айтылған. Айталық (6) жүйе үйлесімді және r<n болсын. Егер коэффициенттерінен құрылған анықтауыш нолден өзгеше болса, онда айнымалыларды базистік (негізгі) айнымалылар деп, ал басқа n-r айнымалыларды еркін (негізгі емес) айнымалылар деп атайды. Еркін айнымалылары нолге тең болған кездегі шешім базистік шешім деп аталады. Базистік шешімдер саны -ден артпайды Матрица рангісі 2-ге тең екенін кеңейтілген матрицаға жүргізілген түрлендірулерден кейін көру қиын емес, сондықтан жүйедегі екі теңдеуді (мысалы, бастапқы екеуін) қарастырамыз: Олай болса базистік шешімдері дан артпайды. Базистік айнымалылар ретінде мына айнымалылар жұбын алуға болады , ; , ; , ; , ; , , . Енді әрқайсысының базистік айнымалылар бола алатынын немесе бола алмайтынын білу үшін коэффициенттерінен құрылған анықтауыштарды есептейміз. Айталық , айнымалылар коэффициенттеріне құрылған анықтауыш , олай болса бұлар базистік айнымалылар бола алады. Базистік шешімді табу үшін жүйедегі , айнымалыларды нолге теңестіреміз де жүйені мына түрде жазамыз: Бұл жүйенің шешімі: . Сонда бастапқы жүйенің бір базистік шешімі: болады. Осы жолмен барлық , , , , базистік шешімдерді табамыз.4-мысал. Біртекті теңдеулер жүйесін шешейік, .

Шешуі. Біртекті жүйе әруақытта үйлесімді, себебі жүйенің нолдік шешуі бар. Ендік нолдік емес шешулері бар жоқтығын анықтайық. Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып, элементар түрлендірулер жасайық: Соңғы матрицаға сәйкес келетін жүйе жазайық: Осы жүйеден және айнымалыларды табамыз: деп алсақ жүйе шешімі мынадай болады: , .