Суммирование погрешностей

Погрешность измерения образуется в следствии погрешностей средств измерения (СИ), метода измерений и отсчитывания показаний СИ. Эти погрешности в свою очередь могут состоять из своих составляющих, например, погрешность каких то узлов, в следствие изменения температуры и т.д.

Как найти суммарную погрешность ? Если составляющие общей погрешности рассматривать как случайные величины, то следует применять общее правило суммирования случайных величин

1. Математическое ожидание (системат. погрешность) результирубщей погрешности определяется алгебраическим суммированием матем. ожиданий (систематических погрешностей) составляющих

2. Дисперсия результирующей погрешности определяется выражением

где - коэффициент корреляции между i и j – ой составляющими.

Нахождение результирующей систематической составляющей не вызывает осложнений.

Однако для расчета дисперсии нужно знать коэффициент корреляции, что, как правило, неизвестно.

Поэтому для нормального закона обычно полагают

1. r = 0 – при независимых составляющих

2. r = ±1 – если заметна корреляция между составляющими

Для коррелированных составляющих результирующая случайная погрешность будет равна :

Для независимых составляющих

Т.е. коррелированные составляющие суммируются алгебраически, независимые – геометрически.

Если необходимо суммировать неисключенные систематические погрешности с неизвестными законами распределения погрешности и случайные погрешности, то соответствующая методика рекомендуется в ГОСТе 3.207.-76

Лекция 7а

Основные составляющие погрешности результата измерения.

В общем случае погрешность результата измерения складывается из следующих составляющих:

1) методическая погрешность (погрешность метода измерения) Δм ;

2) инструментальная погрешность (погрешность средства измерения) Δп ;

3) погрешность отсчета показания Δотс .

Инструментальная погрешность. Она включает в себя основную погрешность средства измерения (СИ) Δо, суммарную дополнительную погрешность СИ ΔΣдоп и динамическую погрешность Δдин. . Класс точности прибора дает информацию о пределах допускаемых основной и дополнительных погрешностей.

Рассмотрим остальные две составляющие погрешности результата измерения: методическую Δм и погрешность отсчета показаний СИ Δотс .

Методическая погрешность результата измерения.

Одним из основных источников методической погрешности является погрешность от взаимодействия СИ и объекта измерения. Она зависит как от свойств СИ, так и от характеристик объекта. Рассмотрим эту составляющую на примерах измерения напряжения аналоговым вольтметром и измерения тока амперметром. При выборе типа измерительного прибора, используемого для измерения тока или напряжения необходимо учитывать соотношения между внутренним сопротивлением источника э.д.с. (объекта измерения) Rи и входным сопротивлением используемого измерительного прибора. Приведем выводы этих соотношения для амперметра с входным сопротивлением Ra и вольтметра с входным сопротивлением Rv .

Измерение тока.

Измерительная схема при измерении тока амперметром представлена на рис. , где Rи – внутреннее сопротивление измеряемого источника э.д.с. e ; Ra – входное сопротивление амперметра. Ток от источника э.д.с. e в измерительной цепи амперметра определяется по закону Ома выражением

I = e/(Rи +Rа) ,

откуда э.д.с. источника e

e =I (Rи +Rа).

Объект

измерения Амперметр

.

Рис. Измерительная схема амперметра

В идеальном случае внутреннее сопротивление амперметра можно положить равным нулю: Rа =0 . Тогда действительное (идеальное) значение тока в измерительной цепи амперметра будет равно

Iд = e/Rи .

Абсолютная погрешность прямого метода измерения тока амперметром, имеющим внутреннее сопротивление, отличное от нулевого (идеального) значения определяется соотношением:

ΔI = I - Iд =e[(1/Rи+Rа)-1/Rи] .

После преобразования получим

ΔI = I - Iд = - e [Rа/(Rа + Rи)Rи].

Относительная методическая погрешность измерения будет равна

δI =( I – Iд )/Iд= ΔI/Iд = - Rа / (Rа+ Rи) .

Из выражения ( ) следует, что для снижения методической погрешности необходимо стремиться, чтобы значение Rа было как можно меньше значения

внутреннего сопротивления источника э.д.с Rи

Rа << Rи .

Измерение напряжения.

Измерительная схема при измерении напряжения вольтметром представлена на рис. .

Объект

измерения Вольтметр

Рис. Измерительная схема вольтметра.

При измерении напряжения на выходе объекта измерения (источника э.д.с. e) с внутренним сопротивлением Rи вольтметром, имеющим входное сопротивление Rv , падение напряжения Uпv на вольтметре согласно закону Ома определяется выражением

Uпv = Iv Rv = [e/( Rи+ Rv )] Rv .

С учетом этого выражения абсолютная погрешность измерения напряжения вольтметром, имеющим входное сопротивление Rv , будет равна

ΔU =Uпv – e =- e [Rи/( Rи+ Rv)].

Относительная погрешность измерения определяется соотношением

δv=( Uпv – e )/e= - Rи / (Rа+ Rи) .

Из выражения ( ) следует, что для снижения методической погрешности измерения напряжения вольтметром необходимо стремиться, чтобы значение входного сопротивления вольтметра Rv было как можно больше значения

внутреннего сопротивления источника э.д.с Rи .

Rv >> Rи .

На основе приведенных соотношений можно сделать рекомендации по выбору вольтметра или амперметра, учитывающие свойства объекта измерения. При этом необходимо исходить из условия, что методическая погрешность от взаимодействия объекта и средства измерения должна быть на порядок меньше инструментальной погрешности: Δм ≤ 0,1δи.

Показания вольтметров электродинамической и электромагнитной систем существенно зависят от частоты измеряемого переменного напряжения. Основной причиной расхождения показаний на постоянном и переменном токе является наличие индуктивного сопротивления ωL.

Относительная погрешность при переходе от измерения постоянного тока к измерению переменного тока будет равна

δω =(U= - U~)/U= = 1- U~/U= =1- √[(ωL)2 + R~2]/R=2 ,

где U= - показание прибора на постоянном токе;

U~ -переменное напряжение, вызывающее то же самое показание, что и на постоянном токе;

R~, R= - сопротивление вольтметра на переменном и постоянном токе соответственно .

При частотах до 2000 Гц можно пренебречь влиянием вихревых токов и положить R~ = R= . Тогда погрешность будем равна

δω = 1-√ [1-√ [(ωL)2/ R=2]

Погрешность отсчета.

Погрешность отсчета в цифровых приборах не превышает одного кванта шкалы (погрешность дискретности) и включается в состав основной погрешности СИ Δо. В средствах измерения аналогового типа погрешность отсчета Δотс в состав основной погрешности СИ Δо не включается. Её предельное значение равно

Δотс = ± k(ЦД),

где k – коэффициент округления результата отсчета (k=0,25; 0,5; 0,75);

ЦД – цена деления шкалы прибора.

ЛЕКЦИЯ №8