Среднее квадратическое отклонение
Основной общепринятой мерой колеблемости количественного признака в пределах вариационного ряда является среднее квадратическое отклонение (сигмальное отклонение), которое обозначается малой греческой буквой о (сигма).
Методика расчета среднего квадратического отклонения (о) приведена в примере 7 и включает следующие этапы (табл. 7):
Находят среднюю арифметическую величину (М).
Определяют отклонения каждой варианты от средней арифметической А = V - М (графа 4, табл. 7). В медицинской статистике отклонения вариант от средней обозначаются как Л (Йеу1а1о). Сумма всех отклонений равняется нулю.
Возводят каждое отклонение в квадрат а2 (графа 5, табл. 7).
Перемножают квадраты отклонений на соответствующие частоты: & х Р (графа 6, табл. 7).
Находят сумму произведений Х(<^2 х р)-
Вычисляют среднее квадратическое отклонение по формуле:
•, при п >30,
I
В нашем примере среднее квадратическое отклонение равно:
[
252
= 1,6..дня.
Значение среднего квадратического отклонения
1. Среднее квадратическое отклонение характеризует разброс вариант относительно средней величины, т. е. характеризует колеблемость вариацион ного ряда.
Чем больше среднее квадратическое отклонение, тем степень разнообразия данного ряда выше.
2. Среднее квадратическое отклонение используется для сравнительной оценки степени соответствия средней арифметической величины тому вариа ционному ряду, для которого она вычислена.
Вариации массовых явлений подчиняются закону нормального распределения. Кривая, отображающая это распределение, имеет вид плавной колоколо-образной симметричной кривой (кривая Гаусса). Согласно теории вероятности в явлениях, подчиняющихся закону нормального распределения, между значениями средней арифметической и среднего квадратического отклонения существует строгая математическая зависимость. Теоретическое распределение вариант в однородном вариационном ряду подчиняется правилу трех сигм.
Если в системе прямоугольных координат на оси абсцисс отложить значения количественного признака (варианты), а на оси ординат — частоты встречаемости вариант в вариационном ряду, то по сторонам от средней арифметической равномерно располагаются варианты с большими и меньшими значениями (рис. 1).
п-1
Таблица 7
Расчет среднего квадратического отклонения
Число дней, V |
Число больных, р |
Ухр |
а=у-м |
<Р |
<?хр |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
16 |
1 |
16 |
-4 |
16 |
16 |
17 |
7 |
119 |
-3 |
9 |
63 |
18 |
8 |
144 |
— 2 |
4 |
32 |
19 |
16 |
304 |
-1 |
1 |
16 |
20 |
29 |
580 |
0 |
0 |
0 |
21 |
20 |
420 |
+ 1 |
1 |
20 |
22 |
7 |
154 |
+ 2 |
4 |
28 |
23 |
5 |
115 |
+ 3 |
9 |
45 |
24 |
2 |
48 |
+ 4 |
16 |
32 |
Л/=20 |
и=95 |
Х^хр=1900 |
|
|
1(<Рхр)=252 |
-38 -25 -15 М +15 +25 +36
Рис. /. Теоретическая кривая нормального распределения
Установлено, что при нормальном распределении признака:
Установлено, что при нормальном распределении признака:
68,3% значений вариант находится в пределах М± 1о;
95.5% значений вариант находится в пределах М± 2о;
99,7% значений вариант находится в пределах Д/± Зет.
Если к средней арифметической величине прибавить или отнять одну сигму (М ± 1о), то при нормальном распределении признака в статистической совокупности в этих границах будет находиться не менее 68,3% всех вариант. В пределах М± 2ст будет заключено 95,5% всех наблюдений. Если к средней прибавить или отнять три сигмы (М± Зет), то в этих границах будут расположены 99,7% всех вариант изучаемой совокупности.
В нашем примере (табл.7) М = 20 дней, сг = 1,6 дня. В пределах М± 1<т находится 65 вариант, что составляет 68,4% всех наблюдений
= 68.4%.
65x100 95
Такое распределение вариант позволяет считать, что данный вариационный ряд является однородным, а средняя арифметическая величина —типичной.
Среднее квадратическое отклонение позволяет установить значения нормы для клинико-биологических показателей. В медицине интервал М ± 1а обычно принимается за пределы нормы для изучаемого явления. Отклонение оцениваемой величины от средней арифметической больше, чем на 1ст указыва ет на отклонение изучаемого параметра от нормы.
В медицине правило трех сигм применяется в педиатрической практике для индивидуальной оценки уровня физического развития детей (метод сиг- мальных отклонений), для разработки стандартов детской одежды, обуви, школьной мебели и т. д.
Среднее квадратическое отклонение необходимо для характеристики степени разнообразия изучаемого признака и вычисления ошибки средней арифметической величины.