Прості і складені гіпотези.

Коли ми висуваємо гіпотезу про теоретичний закон розподілу, якому гіпотетично повинні відповідати елементи даної вибірки, то необхідно розрізняти прості і складені гіпотези про цей закон, а саме:

• проста гіпотеза повністю визначає теоретичну функцію розподілу імовірностей, згідно з якою виникли вибіркові значення;

• складена гіпотеза вказує не на єдиний розподіл, а на деяку їх множину (наприклад, на параметричну сім’ю).

У випадку простої гіпотези стає у нагоді критерій узгодженості, який базується на наступній теоремі.

Теорема К. Пірсона. Нехай n - число незалежних спостережень деякого досліду з повною групою попарно несумісних подій А₁, ... , А_r, ймовірність яких р₁, ... , р_r, причому р₁ + ... + р_r = 1. Позначимо через m₁, … , m_r кількість спостережень, що мають відповідно результати А₁, ... , А_r. Введемо випадкову величину . Тоді при n→∞ випадкова величина χ² асимптотично підлягає розподілу χ² з (r-1) ступенями свободи.

Теорема використовується для перевірки гіпотези про те, що імовірності р₁, ... , р_r прийняли певні значення р₁⁰, ... , р_r⁰. Запишемо власне гіпотезу Н:

Н: р₁ = р₁⁰, р₂ = р₂⁰, . . . , p_r = p_r⁰.

Статистикою хі-квадрат Пірсона для простої гіпотези називається статистика .

Значення цієї статистики порівнюється із значенням квантиля рівня 1-α розподілу χ² з r-1 ступенем свободи.

Для перевірки складених гіпотез може бути використаний критерій узгодженості хі-квадрат Фішера, який базується на наступній теоремі.

Теорема Фішера. Нехай n - число незалежних спостережень деякого досліду з повною групою попарно несумісних подій А₁, ... , А_r , імовірності яких відомі з точністю до деякого невизначеного k-вимірного параметра θ = (θ₁, ... , θ_k). Припустимо, що імовірності є заданими диференційовними функціями від θ: P(A_i) = p_i(θ), крім того для будь-якого θ. Розглянемо статистику , де – оцінка максимальної правдоподібності для параметра θ, що одержана за частотами m_1, … , m_r. Вказана статистика є асимптотично розподіленою за законом χ² з r – k - 1 ступенями свободи. Ця статистика називається статистикою хі-квадрат Фішера для складеної гіпотези. Дана статистика і використовується в якості статистики вищеназваного критеріюузгодженості Фішера. Процедура перевірки здійснюється так як і у випадку простої гіпотези, а саме: треба обчислити значення Х² і порівняти його з критичними значеннями розподілу χ² з числом ступенів свободи ( r – k - 1). Зауважимо, що число спостережень повинно бути досить великим, щоб очікувані частоти не були малими. Конкретніше, вважається, що даний критерій можна використовувати, коли n ≥ 50, а всі частоти m_i більші або рівні 7-8.

Нормальний закон розподілу імовірностей.

Випадкова величина має нормальний розподіл (позначення  N(μ,), якщо її щільність розподілу визначається за формулою:

,

де μ,  - деякі числа. Імовірнісний зміст параметрів μ ,  :

μ – математичне сподівання випадкової величини ,

 - середнє квадратичне відхилення випадкової величини .

Графік щільності розподілу випадкової величини  має дзвіноподібну форму і є симетричним відносно прямої х= μ (див. рис.8.1)

Рис.8.1

Припустимо, що є заданою вибірка значень x₁, x₂, … , x_n випадкової величини , отримана при тих чи інших спостереженнях. Треба вирішити, чи можна на підставі наявних даних зробити обґрунтоване припущення про нормальність розподілу величини  (інакше – про нормальність теоретичного розподілу імовірностей). Таким чином, мова йде про перевірку гіпотези Н₀={теоретичний розподіл імовірностей є нормальним}, або скорочено: H₀ = {  N( · , · ) } (позначення N( · , · ) замість N( μ, σ ) вживається, коли мова йде про нормальність розподілу взагалі, без припущень щодо конкретних значень параметрів цього розподілу).

З багатьох відомих критеріїв узгодження емпіричних даних з гіпотезою про нормальність теоретичного розподілу в даній роботі треба використати лише два. Основні принципи, на яких базуються вказані критерії і відповідні дії, що потрібно виконати, формулюються нижче.