Загальна схема перевірки гіпотез

Під статистичними гіпотезами розуміють різного роду припущення про закони теоретичного розподілу. Нульовою (основною) називають висунуту гіпотезу і позначають її символом Н₀. Конкуруючою (альтернативною) називають гіпотезу Н₁, яка суперечить Н₀.

Статистикою критерію Т_n= Т_n(x₁, x₂, …, x_n) називають функцію вибіркових значень, яка використовується для перевірки гіпотез. Статистика Т_n є випадковою величиною, розподіл якої вважається відомим за умови, що нульова гіпотеза Н₀ справедлива.

До проблеми перевірки статистичних гіпотез ми неминуче приходимо в таких задачах, як порівняльна оцінка різних технологічних процесів за їх продуктивністю та економічністю або порівняння конструктивних особливостей машин, приладів і т.п. Аналогічні задачі характерні для багатьох областей науки та техніки. І хоч критерії перевірки гіпотез досить різноманітні, їх об’єднує загальна логічна схема:

1. Формулюється нульова Н₀ і альтернативна Н₁ гіпотези.

2. Вибирається так званий рівень значущості .

3. Вибирається відповідна гіпотезі статистика критерію Т_n , де n - об’єм вибірки.

4. Знаходиться розподіл статистики Т_n при гіпотезі Н₀.

5. Визначається критична область Y₁ та допустима область Y₀.

6. За вибіркою x₁, x₂, … , x_n обчислюється експериментальне значення статистики Т_n .

7. Приймається рішення про гіпотезу Н₀. Якщо експериментальне значення статистики Т_n потрапляє в критичну область, то гіпотезу Н₀ відхиляємо; в протилежному випадку говоримо, що вибірка не дає підстави відхилити гіпотезу.

Дамо необхідні пояснення до цієї схеми.

Основна ідея перевірки статистичних гіпотез

Множину Y всіх значень, які може приймати випадкова величина Т_n, розіб’ємо на дві підмножини Y₀ та Y₁ (Y = Y₀  Y₁ , Y₀ ∩ Y₁ = Ǿ) так, щоб імовірність попадання значення статистики Т_n у множину Y₁ за умови справедливості гіпотези Н₀ була достатньо малою. Якщо виявилося, що Т_n(x) = Т_n(x₁, x₂, …, x_n)  Y₁, то в припущенні справедливості гіпотези Н₀ трапилась малоімовірна подія, і ця гіпотеза повинна бути відкинутою як така, що протирічить статистичним даним. У протилежному випадку (тобто якщо Т_n(x)  Y₀ ) немає причин не прийняти гіпотезу Н₀, і слід вважати, що спостереження не виявляють протиріч з Н₀.

Найчастіше імовірність попадання у множину Y₁ вибирається рівною або не вищою ніж 0,01, або 0,05, або 0,1. Таку імовірність називають рівнем значущості (); множину Y₁ – критичною областю; Y₀ – областю прийняття гіпотези, а правило перевірки – критерієм згоди.

Якщо Т_n – неперервна випадкова величина, то критична область Y₁ задовольняє рівності:

P{ Т_n  Y₁ | Н₀} = , (7.1)

де вираз у лівій частині позначає імовірність прийняття статистикою Т_n значення у множині Y₁ за умови справедливості гіпотези Н₀.

Зауважимо, що на практиці замість рівності (7.1) часто використовується нерівність (≤) або наближена рівність.

Доцільний вибір критичної області, окрім співвідношення (7.1), може залежати ще й від альтернативної гіпотези Н₁. Найчастіше за критичну область Y₁ вибирають множину:

(правосторонній критерій)

(лівосторонній критерій)

(двосторонній критерій)

де - квантиль рівня  умовного розподілу статистики Т_n (умовного в припущенні справедливості Н₀). Точки, які розділяють множини Y₀ та Y₁, називають критичними точками.

В результаті перевірки статистичних гіпотез можуть бути зроблені помилки двох типів. Помилка першого роду полягає в тому, що буде відкинута вірна гіпотеза Н₀. Її імовірність  дорівнює Р{ Т_n  Y₀ | Н₀}, якщо виконується (7.1). У випадку, коли замість (7.1) виконується нерівність (≤) або наближена рівність, імовірність помилки 1-го роду може бути відповідним чином оцінена, а не точно визначена. Помилка другого роду виникає тоді, коли ми приймаємо гіпотезу Н₀, в той час, коли справедлива альтернативна гіпотеза. Імовірність  помилки другого роду дорівнює Р{ Т_n  Y₀ | Н₁}.

Перевірка гіпотези відносно імовірності

Нехай А – деяка випадкова подія. Маючи результати n незалежних випробувань, в яких подія А спостерігалась m разів, ми хочемо перевірити гіпотезу, що імовірність події A дорівнює заданому числу р₀, тобто Н₀ = {P(A)=p₀}. На практиці до цієї гіпотези ми приходимо, наприклад, при перевірці відповідності технологічного процесу заданим умовам (наприклад, коли за умовою кількість браку в сукупності всіх виробів підприємства не повинна перевищувати p₀∙100% ).

Нехай гіпотеза Н₀ справедлива. Тоді маємо схему Бернуллі:

успіх – подія А відбулась;

невдача – відбулась подія .

K_n – число успіхів в n випробуваннях; тоді, як відомо з курсу теорії імовірностей: MK_n = np₀; DK_n = np₀q₀; q₀ = 1-p₀.

Користуючись нормальним наближенням біноміального розподілу (теорема Муавра - Лапласа), одержуємо:

(7.2)

( статистика Т_n має наближено нормальний розподіл з параметрами 0; 1).

При альтернативній гіпотезі Н₁ ={ P(A)p₀ } і рівні значущості  критична область буде мати вигляд:

(7.3)

(для нормального розподілу U_ = -U_1-, U_ - квантиль рівня  -розподілу). Область прийняття гіпотези Y₀ – це інтервал ( , ).

Квантилі нормального розподілу N(0,1) знаходяться у таблиці додатку 5. Їх потрібно шукати як значення х.

Якщо значення статистики Т_n , яке знайдене за вибірковими даними, належить області Y₀, то гіпотеза Н₀ приймається, в протилежному випадку, коли Т_n Y₁, то гіпотеза Н₀ відхиляється.

Приклад 1. Нехай потрібно перевірити відсутність систематичної похибки терезів, тобто Н₀ = { P(п) = P(н)=p₀=1/2 }, де P(н) - імовірність недоважування, P(п) - імовірність переважування.

В досліді проведено 280 зважувань і із них виявилось 151 недоважувань і 129 переважувань.

При справедливості гіпотези Н₀ маємо р₀=1/2; q₀=1/2 і згідно (7.2) одержимо:

Виберемо рівень значущості =0,05, тоді 1-/2=0,975; U_0,975=1,96 – квантиль рівня 0,975 N(0;1) - розподілу. Тоді із рівності (7.3) одержуємо критичну область . Допустима область

Y₀ = (-1,96, 1,96).

При кількості успіхів (недоважувань) m=151 отримаємо:

.

Таким чином, Т₂₈₀  Y₀ і гіпотеза Н₀ приймається (Н₀ не суперечить спостереженням).

Зауваження. На практиці наведену вище процедуру перевірки гіпотези відносно імовірностей можна використовувати коли n >= 50; np >= 10.

Перевірка гіпотези про середнє значення нормального розподілу. Критерій Стьюдента

Нехай x₁, x₂, … , x_n - ряд незалежних спостережень над випадковою величиною , яка має нормальний розподіл N(, ). Параметри  ,  - невідомі. Потрібно перевірити гіпотезу H₀= { M=₀ }, де ₀ – деяке задане число. Такого типу задачі часто виникають на практиці, наприклад тоді, коли потрібно визначити наявність систематичних відхилень від номіналу параметрів виробів деякого технологічного процесу.

На підставі вибірки обчислимо

, (7.4)

Розглянемо статистику

(7.5)

Відомо (див. розділ 6), що випадкова величина T_n має розподіл, який називається t - розподілом Стьюдента з (n-1) ступенем свободи. Звідси випливає критерій перевірки гіпотези Н₀ – критерій Стьюдента. При рівні значущості  вибираємо із таблиць квантилів t - розподілу Стьюдента - квантиль рівня розподілу Стьюдента з (n-1) ступенем свободи.

Тоді при альтернативній гіпотезі Н₁ = { M  ₀ } і рівні значущості  критична область відповідно до (7.2) буде мати вигляд:

(7.6)

Допустима область: . Якщо статистика T_n в (7.5) при =₀ попадає в область Y₁, то гіпотезу H₀= { M=₀ } відхиляємо, якщо T_n  Y₀, то говоримо, що гіпотеза H₀ не суперечить експериментальним даним.

Приклад 2. Стьюдент у класичній роботі про t - розподіл наводить наступні дані про додаткові години сну 10 пацієнтів, викликані дією снодійних засобів та .

Таблиця 7.1

Пацієнт	X	Y	Різниця X-Y
1	1.9	0.7	1.2
2	0.8	-1.6	2.4
3	1.1	-0.2	1.3
4	0.1	-1.2	1.3
5	-0.1	-0.1	0.0
6	4.4	3.4	1.0
7	5.5	3.7	1.8
8	1.6	0.8	0.8
9	4.6	0.0	4.6
10	3.4	2.0	1.4

Виникає запитання, чи існує істотна різниця між дією снодійних засобів та . Якщо припустити, що різниця ξ між додатковими годинами сну розподілена нормально, то вибірка буде вибіркою об’єму n=10 нормального розподілу N(0,σ) при умові справедливості гіпотези H₀={M=0}, тобто коли між снодійними засобами X та Y немає різниці. При цій же умові величина має t - розподіл Стьюдента з 9 ступенями свободи; , - відповідно середнє значення та вибіркове середнє квадратичне відхилення вибірки .

Обчислення згідно формул (7.4) та (7.5) для вибірки дають: =1.11; =1.58; .

При α=0.05 та 9 ступенях свободи t_кр = = 2.26, тоді . Ясно, що і гіпотезу Н₀ відхиляємо, тобто різниця між снодійними засобами та значуща.

Контрольні питання

1. Дати пояснення основних понять перевірки статистичних гіпотез: основна гіпотеза, статистика критерія, рівень значущості, критична і допустима області, помилки 1-го і 2-го роду.

2. Навести загальну схему перевірки гіпотез.

Розділ 8. Перевірка статистичних гіпотез - 2.

Гіпотеза про нормальність розподілу імовірностей