Определение перемещения сечения стержня плоской статически определимой стержневой системы при действии внешней нагрузки

Данную тему рассмотрим на конкретных примерах.

П ример 1. Определим прогиб конца консоли (рис. 1). Построим грузовую эпюру моментов и эпюру изгибающих моментов от единичной силы, приложенной на конце консоли (рис. 1). Используя правило Верещагина, имеем:

Пример 2. Определим горизонтальное смещение точкиС рамы, изображенной на рис. 2.

A_MF

Построим эпюры изгибающих моментов от внешней нагрузки (М_F) и от силы Р = 1, приложенной в точке С по направлению искомого горизонтального смещения ( ), тогда

Знак (–) в ответе означает, что горизонтальное смещение точки С и направление единичной силы Р = 1 не совпадают.

Л е к ц и я 8

Определение перемещения сечения стержня плоской статически определимой стержневой

системы при действии температурных воздействий и при смещении ее опор.

Температурные перемещения.

Перепишем интеграл Мора (7) из лекции 9 в виде:

(1)

(см. рис. 3 – 5 лекции 8). Формулой Мора в приведенном виде можно пользоваться для определения перемещений системы, вызванных действием температуры. Если верхнее волокно элемента стержня нагрето на t₁, а н ижнее – на t₂ градусов Цельсия, то принимая прямолинейный закон распределения температуры по высоте поперечного сечения, будем иметь (рис. 1) для симметричного поперечного сечения:

,

где α – температурный коэффициент линейного расширения.

Деформации сдвига в элементе от действия температуры не возникают.

Подставив найденные значения Δx_t и Δ _t в выражение (1), получим формулу для нахождения температурных перемещений

(2)

Предполагается, что вдоль каждого стержня заданное изменение температуры одинаково и высота h каждого элемента системы постоянна по всей его длине.

Если стержневая система содержит только прямолинейные или ломаные стержни постоянного сечения, то формула (2) может быть переписана в более простой форме:

(3)

где и – площади единичных эпюр и . Если деформации элемента dx от температуры и от единичной силы аналогичны, то знак соответствующего члена формулы (3) будет положительным, если деформации будут не совпадать, то необходимо брать знак (–).

Пример 1. Определить горизонтальное перемещение подвижной опорыВ при изменении температуры по рис. 2. Высоту поперечного сечения принять h = a/10.

Строим единичные эпюры и (рис. 2, б,в) от приложенной в точке Вв направлении искомого перемещения единичной силы Р = 1. Затем определяем площади единичных эпюр:

для ригеля: = ab/2, = 1·a = a; для стойки: = b²/2, = b²/a.

Определяем температурные параметры:

для ригеля: t₁ = 40^о, t₂ = 10^о; для стойкиt₁ = 20^о, t₂ = 10^о.

По формуле (3) находим:

= α(–150b – 35b²/a + 25a).

Знак (+) нужно поставить перед членом с , так как изменение температуры вызывает удлинение стойки и ригеля, также как и действие единичной (рис. 2, в). Перед членом с стоит знак (-), так как температурное воздействие вызывает удлинение внешних волокон ригеля и стойки (рис. 2, а), а изгибающий момент от действия единичной силы Р = 1, наоборот, вызывает укорочение внешних волокон (рис. 2, б).

При определении перемещений от действия на сооружение температуры нельзя пренебрегать членом формулы, зависящим от продольной силы.