Теорема о взаимности перемещений (теорема Максвелла)

На основании теоремы о взаимности работ (9) имеем F₁δ₁₂ = F₂δ₂₁, но если принять, что F₁ = F₂ = 1, тогда получаем δ₁₂ = δ₂₁, или в общем виде

δ_ij = δ_ji. (10)

«Перемещение точки приложения первой единичной силы по ее направлению, вызванное второй единичной силой, равно перемещению точки приложения второй единичной силы по ее направлению, вызванному первой единичной силой».

Л е к ц и я 6

Определение перемещений. Интеграл Mора. Правило Верещагина.

Определение перемещений. Интеграл мора

Рассмотрим два состояния (рис. 1). Составим выражение работы W₂₁, то есть работы силы F₂ = 1 на перемещении Δ₂₁:

W ₂₁ = F₂Δ₂₁ = Δ₂₁. (1)

Согласно формулы (7) лекции 8 получаем

W₁₂ = W – W₁₁ – W₂₂, (2)

где

(3)

M, N, Q – это моменты, нормальные и поперечные силы от суммарного действия сил F₁ и F₂ (рис. 7 лекции 8), т.е.

M = M₁ + M₂, N =N₁ + N₂, Q= Q₁ + Q₂. (4)

Значения (4) подставляем в формулу (3), а результат и выражения для W₁₁ и W₂₂ – в формулу (2). В итоге получим

(5)

а с учетом равенства (1) имеем

(6)

где черточки показывают, что эти значения возникают от единичных сил.

Формулу (6) можно записать в общем виде:

(7)

Выражение (7) – это формула для определения перемещений в конкретном сечении конструкции или интеграл Мора (формула Мора).

При расчете балок и рам учитывают влияние только изгибающих моментов M, а влиянием N и Q пренебрегают.

Правило Верещагина

«Интеграл произведения двух функций, из которых одна линейная, а другая – произвольная, равен площади произвольной функции, умноженной на ординату из прямоугольной функции, лежащей под центром тяжести площади произвольной функции».

Например, имеем две эпюры моментов М_F и (рис. 2), тогда по формуле (7) получаем при использовании правила Верещагина:

(8)

Запишем еще три положения, вытекающие из правила Верещагина:

1. Ордината у_С должна быть взята из прямолинейной эпюры. Если обе эпюры – прямолинейные, то ординату у_С можно брать из любой.

2. Перемножаемые эпюры не должны иметь изломов. При их наличии эпюры необходимо перемножать по участкам.

3. Для перемножения двух прямолинейных эпюр (рис. 3) можно использовать формулу:

Пример. Пусть дана балка, загруженная равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 4). Вычислим прогиб балки в точкеС при ее изгибной жесткости EI = const. При расчете учитываем только влияние изгибающих моментов, поэтому принимаем интеграл Мора в виде (8):

(9)

где

Вычисляем перемещение Δ_С при помощи интеграла Мора (9):

Вычисляем перемещение Δ_С при помощи интеграла Мора (9), но с использованием правила перемножения эпюр Верещагина:

Л е к ц и я 7

Определение перемещения сечения стержня плоской статически определимой стержневойсистемы при действии внешней нагрузки.