Оценка точности метода Ньютона-Котеса

Для того чтобы оценить точность вычисления интеграла методом Ньютона-Котеса произвольного порядка необходимо рассмотреть два значения полученных по формуле (5.4) полученное при числе разбиений и , соответствующее разбиениям интервала .

В этом случае за величину ошибки метода можно принять абсолютное значение разности , так как точность зависит от количества разбиений интервала интегрирования.

Для проверки достижения заданной точности можно использовать неравенство , где заданная точность вычисления значения интеграла.

Таблица 5.1. Коэффициенты в формулах Ньютона-Котеса

K
1	1/2	1	1	-	-	-	-	-1/12
2	1/3	1	4	1	-	-	-	-1/90
3	3/8	1	3	3	1	-	-	-3/80
4	2/45	7	32	12	32	7	-	-8/945
5	5/288	19	75	50	50	75	19	-275/12096

Таблица 5.2. Таблица расчета коэффициентов

	1	цикл 1 4	1
			1	цикл 2 4	1
					1	цикл 3 4	1
Сумма	1	4	2	4	2	4	1

Окончательно, используя суммарные значения коэффициентов табл. 5.2, для вычисления интеграла получим

Это выражение согласуется с приведенным выше (5.3)

Задание

Для заданного варианта подынтегральной функции (табл. 5.4) определить величину шага интегрирования h, при котором достигается заданная точность вычисления значения интеграла. Сравнить получаемые величины h для двух заданных методов численного интегрирования. Варианты сравниваемых методов представлены табл. 5.3.

Таблица 5.3 Варианты сравниваемых методов интегрирования

Вариант	Сравниваемые методы
1	Метод трапеций, метод Ньютона-Котеса (3-й порядок)
2	Метод прямоугольников, метод Симпсона
3	Метод трапеций, метод Ньютона-Котеса (4-й порядок)
4	Метод Симпсона, метод Ньютона-Котеса (5-й порядок)
5	Метод трапеций, метод Симпсона
6	Метод прямоугольников, метод Ньютона-Котеса (3-й порядок)
7	Метод Симпсона, метод Ньютона-Котеса (4-й порядок)
8	Метод трапеций, метод Ньютона-Котеса (5-й порядок)

Таблица 5.4 Варианты заданий

Вариант	Выражение для подынтегральной функции		Точность
1		0.1, 2.2	10-3
2		1.2, 5.3	10-2
3		3.0, 7.2	10-3
4		6.2, 15.1	10-2
5		12.0, 21.2	10-2
6		5.2, 12.0	10-3
7		3.0, 7.2	10-3
8		5.0, 12.0	10-2

Содержание отчета

1. Цель работы.

2. Алгоритмы сравниваемых методов.

3. Результаты сравнения.

Лабораторная работа №6 Численное решение нелинейных уравнений

Цель работы

Ознакомиться с методами численного решения нелинейных уравнений. Разработать алгоритмы для двух заданных методов. Сравнить эти методы между собой.

Отделение корней нелинейного уравнения

Выбор алгоритма для решения уравнений зависит от характера решаемой задачи. Задачи, сводящиеся к решению нелинейных уравнений можно классифицировать по числу уравнений в зависимости от предполагаемого характера и числа решений.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют найти решение непосредственно с помощью формулы и обеспечивают получение точного решения. В итерационных методах задается некоторая процедура решения в виде многократного применения последовательности операций. Полученное решение всегда является приближенным. Итерационные методы требуют большого количества вычислений и обычно реализуются на ЭВМ.

Ниже дается краткая характеристика итерационных методов, которые используются в вариантах заданий к работе. В каждом из рассматриваемых ниже методов считается, что решаемая задача состоит в отыскании действительных корней уравнения.

6.1

Все численные методы нахождения корней нелинейного уравнения реализуются в два этапа.

Первый этап - отделение корней нелинейного уравнения, т.е. отыскание некоторых начальных приближений корней.

Второй этап - уточнение приближенного значения корня до некоторой наперед заданной степени точности.

Приближенное значение корня уравнения (6.1) может быть получено:

1. исходя из грубого анализа функции . Цель этого анализа - отыскать два таких значения Xн и Xв, для которых функция имеет противоположные знаки, т.е.

Тогда между и есть по крайней мере одна точка, где . В этом случае в качестве исходного приближения берется интервал в целом либо . Выбор зависит от используемого на втором этапе метода уточнения значения корня;

2. исходя из физических соображений, т.е. из анализа того объекта или явления, для описания которого используется решаемое уравнение;

3. путем подбора простого уравнения, корни которого расположены вблизи от корней исходного уравнения. Например, замена трансцендентного уравнения алгебраическим.

Пример. Пусть требуется отделить корень уравнения

6.2

При первый член уравнения меняется в диапазоне [0,1.0], поэтому можно рассмотреть крайние случаи ()

6.3

6.4

Из уравнения (6.3) следует, что . Из уравнения (6.4), что

Для исходного уравнения (6.2) , т.е. внутри интервала имеется корень. В качестве первого приближения корня уравнения (6.2) можно задать

4. определение верхних и нижних границ положительных отрицательных действительных корней. Эти границы рассчитываются с помощью формул Лагранжа.

Существуют такие способы отделения корней, основанные на одновременном анализе, знаков первой производной функции и знаков самой функции на границах интервалов при грубом анализе функции. Эти способы не используются при выполнении работы.

На втором этапе нахождения корней нелинейного уравнения используются различные методы уточнения значения отделенного корня. В работе предлагается использовать методы половинного деления, хорд (ложного положения), касательных (Ньютона-Рафсона), секущих и простой итерации (последовательных приближений). Ниже дается краткая характеристика указанных методов.