2.3. Сглаживание функции, заданной таблицей Значений в равноотстоящий точках, с помощью многочлена третьей степени, построенного по пяти последовательным точкам методом наименьших квадратов

Вычисляется множество сглаженных значений функции, заданной множеством ее значений в равноотстоящих точках с .

По каждым пяти последовательным точкам для строится последовательность многочленов третьей степени вида ,

дающих в этих точках наименьшее отклонение от в смысле метода наименьших квадратов.

Для , т.е. в каждой точке , за исключением точек , в качестве сглаженных значений функции берется вычисленное в точке ; значение многочлена, построенного по точкам , т.е. многочлена . В качестве сглаженных значений и берутся вычисленные в точках и соответственно значения многочлена , а в качестве и - значения многочлена , вычисленные соответственно в точках и .

Задача отыскания коэффициентов и многочленов сводится к минимизации функции

.

Искомые сглаженные значения вычисляются по формулам:

где для

Задание

Задача 1.

Для функции заданной таблицей значений разработать алгоритм и программу построения интерполяционного многочлена Лагранжа.

Задача 2.

Разработать алгоритм и программу сплайн-интерполяции функции заданной таблицей значений в равноотстоящих точках. Для определения коэффициентов использовать метод прогонки

Задача 3.

Разработать алгоритм и программу сглаживания функции заданной таблицей значений. Метод сглаживания выбирается согласно варианту таблица. 3.1.

Таблица 3.1. варианты сглаживания

Вариант	Метод сглаживания
1	2.1
2	2.2
3	2.3
4	2.1
5	2.2
6	2.3

Содержание отчета

Один отчет по работам №3 и №4.

Лабораторная работа №4. Численное дифференцирование

Цель работы

Изучение методов численного дифференцирования функций.

Первая производная.

Производная функции есть предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении к нулю приращения независимой переменной

При численном нахождении производной заменим отношение бесконечно малых приращений функций и аргумента отношением конечных разностей. Очевидно, что чем меньше будет приращение аргумента, тем точнее численное значение производной.

Для двухточечных методов при вычислении производных используется значение функции в двух точках. Приращение аргумента задается тремя способами, откладывая вправо, влево и в обе стороны от исследуемой точки. Соответственно получается три двухточечных метода численного дифференцирования:

, (4.1)

, (4.2)

, (4.3)

Вторая производная

Вторая производная вычисляется как первая производная от первой производной. Расчетная формула имеет вид:

Рисунок 4.1. Точки для вычисления второй производной

Задание

Для функции заданной таблицей значений разработать алгоритм и программу построения графиков первой и второй производной, с шагом меньше чем шаг таблицы. Для нахождения промежуточных значений функции использовать интерполяцию из предыдущей работы. Метод вычисления первой производной и способ интерполяции указаны в таблице вариантов.

Таблица 4.1. варианты заданий

Вариант	Первая производная	Интерполяция
1	4.1	Кубический Сплайн
2	4.2	Многочлен Лагранжа
3	4.3	Кубический Сплайн
4	4.1	Многочлен Лагранжа
5	4.2	Кубический Сплайн
6	4.3	Многочлен Лагранжа

Содержание отчета по лабораторным работам №3 и №4

1. Цель работы.

2. Блок-схемы алгоритмов.

3. Исходные данные для расчетов

4. Результаты

Лабораторная работа №5. Численное интегрирование

Цель работы

Ознакомиться с методами численного интегрирования. Разработать алгоритмы для двух заданных методов. Сравнить эти методы между собой.

Обзор методов

Задача формулируется как нахождение значения

, 5.1

где - некоторая непрерывная функция во всем интервале , , - конечные константы, .

Существует два подхода к вычислению площади под кривой, описываемой функцией , т.е. к получению оценки значения S.

Первый, подход основан на разбиении интервала на множество меньших интервалов и нахождении суммы площадей "полосок", получаемых при таком разбиении. Полученная сумма и принимается в качестве значения интеграла.

В существующих методах численного интегрирования, реализующих данный подход, выделяют две группы методов по признаку способа разбиения исходного интервала на меньшие интервалы.

1. Разбиение производится на N произвольных, обычно равных, интервалов.

2. Местоположение и длина интервалов определяются исходя из решения задачи достижения наивысшей точности при заданном числе интервалов.

К первой группе относятся методы прямоугольников, трапеций, Симпсона, Ньютона-Котеса. Ко второй группе относится метод Гаусса.

Второй подход основан на введении случайных явлений и сведении таким образом задачи вычисления интеграла к более простой задаче расчета математических ожиданий. К этому подходу относятся так называемые методы Монте-Карло.

В работе используются методы численного интегрирования, основанные на разбиении исходного интервала на N равных интервалов. Необходимо отметить, что формула трапеций и формула Симпсона являются формулами Ньютона-Котеса первого и второго порядков соответственно.

Рассмотрим метод трапеций. Сущность этого метода заключается в линейной аппроксимации подынтегральной функции. Соседние точки , где , , заданные в интервале , соединяются прямыми. Если и , то интеграл (5.1) будет представляться суммой N трапеций высотой h, где h – длина подынтервала.

Для вычисления значения интеграла через значения функции, с шагом h, используется в этом случае выражение

5.2

Если заменить линейную аппроксимацию кривыми более высокого порядка, то можно получить большую точность результата. Так, аппроксимируя подынтегральную функцию параболами, получаем вторую формулу Ньютона-Котеса, известную также как правило Симпсона.

5.3

При использовании этой формулы интервал разбивается на четное число подынтервалов, так как для проведения параболы необходимо иметь три точки.

Для численного интегрирования можно применить аппроксимирующие полиномы более высоких порядков.

При аппроксимации подынтегральной кривой многочленом K-й степени формула для вычисления значения интеграла имеет следующий вид:

, 5.4

где N – число полос, на которые разбивается площадь под подынтегральной кривой, некоторая точка в интервале , - значение K-й производной в точке , h – шаг интегрирования, приведены в табл. 5.1. Последний член в формуле Ньютона-Котеса указывает на порядок величины ошибки ограничения.

В табл 5.1 одна строка соответствует циклу из K полос, включающему K+1 узловую точку, необходимую для получения многочлена K-й степени. . Чтобы использовать эти формулы при численном интегрировании более чем с одним циклом, коэффициенты надо сложить друг с другом таким образом, чтобы последние значения весов перекрывались. При этом необходимо разбиение интервала на число подынтервалов (полос) кратное K.

Например, при K=2 и N=6 необходимы три цикла использования коэффициентов (три цикла аппроксимации параболами подынтегральной функции). Получение коэффициентов для выражения (5.4), соответствующих K=2 и N=6, показано в табл. 5.2.