Сглаживание

При проведении некоторых экспериментальных исследований наблюдаются частые и резкие изменения значений измеряемых величин. Это может создавать определенные трудности в изучении процессов и управлении ими. Борются с ними путем сглаживания.

Метод сглаживания получил довольно широкое распространение в экспериментальных исследованиях. Отметим, однако, что применять сглаживание нужно осмотрительно. В некоторых особых случаях резко выделяющиеся точки могут характеризовать существенные качественные изменения, происходящие в исследуемом объекте. Сглаживая экспериментальные данные, мы можем легко утратить информацию о таких явлениях.

Метод наименьших квадратов

Пусть связь между аргументами и значениями функции приближенно описывается формулой с числовыми параметрами . Требуется определить такие значения этих параметров, при которых сумма квадратов отклонений будет наименьшей.

Для многочлена степени сумма квадратов отклонений представляет собой неотрицательную функцию переменных :

Требующиеся нам наилучшие коэффициенты многочлена должны давать минимум функции . Необходимым условием экстремума дифференцируемой функции многих переменных является равенство нулю ее частных производных по всем переменным.

Следует отметить, что если степень многочлена , то наименьшее отклонение лают интерполяционные многочлены, при такой многочлен единственный, а при их бесконечное множество.

Сглаживание функции, заданной таблицей значений в неравноотстоящих точках, с помощью многочлена первой степени, построенного по трем последовательным точкам методом наименьших квадратов.

Необходимо вычислить множество сглаженных значений функции , заданной множествами значений аргумента и соответствующих значений функции.

По каждым трем последовательным точкам , , для строится последовательность многочленов первой степени вида

, (3.11)

Дающих в этих точках наименьшее отклонение от в смысле метода наименьших квадратов.

Для , т.е. в каждой точке , за исключением конечных точек и , в качестве сглаженного значения функции берется вычисленное в точке значение многочлена , в качестве - вычисленное в точке значение многочлена , а в качестве - значение многочлена , вычисленное при .

Задача отыскания коэффициентов и многочленов сводится к решению системы нормальных уравнений:

где

Решение этой системы позволяет определить значения коэффициентов и . На основе значений этих коэффициентов можно определить искомые сглаженные значения .

Сглаживание функции, заданной таблицей значений в равноотстоящий точках, с помощью многочлена первой степени, построенного по трем последовательным точкам методом наименьших квадратов

Вычисляется множество сглаженных значений функции , заданной множеством ее значений в равноотстоящих точках с .

Метод, используемый для нахождения значений , приведен выше.

Однако, с учетом условия выражения для вычисления искомых сглаженных значений имеют вид:

2.2. Сглаживание функции, заданной таблицей значений в равноотстоящий точках, с помощью многочлена первой степени, построенного по пяти последовательным точкам методом наименьших квадратов

Вычисляется множество сглаженных значений функции , заданной множеством ее значений в равноотстоящих точках с .

По каждым пяти последовательным точкам для строится последовательность многочленов первой степени вида (3.11), дающих в этих точках наименьшее отклонение от у в смысле метода наименьших квадратов.

Для в качестве сглаженного значения функции берется вычисленное в точке значение многочлена, построенного по точкам , т.е. многочлена . В качестве сглаженных значений и берутся вычисленные в точках и соответственно значения многочлена , а в качестве и - значения многочлена , вычисленные соответственно и точках и

Искомые сглаженные значения , вычисляются по формулам.