Интерполяция сплайнами

Пусть функция задана таблицей своих значений: , . Сплайном степени называется функция , обладающая следующими свойствами:

функция непрерывна на отрезке вместе со своими производными до некоторого порядка .

на каждом частичном отрезке функция совпадает с некоторым алгебраическим многочленом степени .

Разность между степенью сплайна и наивысшим порядком непрерывной на отрезке производной называют дефектом сплайна. Кусочно-линейная функция является сплайном первой степени с дефектом, равным единице.

Рассмотрим один из наиболее распространенных вариантов интерполяции кубическими сплайнами. Функцию будем использовать для аппроксимации зависимости .

где , - коэффициенты сплайна, определяемые из дополнительных условий; - номер сплайна.

Коэффициенты сплайнов определяются из условий сшивания соседних сплайнов в узловых точках:

равенство значений сплайнов и аппроксимируемой функции в узлах:

непрерывность первой и второй производных от сплайнов в узлах ,

Кроме перечисленных условий, необходимо задать условия на концах, т.е. в точках . В общем случае эти условия зависят от конкретной задачи. Довольно часто используются условия свободных концов сплайнов.

Получим алгоритм определения коэффициентов кубических сплайнов. Условия в узлах после подстановки сплайна принимают вид

3.1

3.2

где

Продифференцируем дважды сплайн по переменной

.

Из условий непрерывности производных, при переходе в точке от к , получим следующие соотношения:

3.3

3.4

И, наконец, из граничных условий на основании выражения для второй производной получим, что

3.5

3.6

Полученные соотношения (3.1 – 3.6) представляют собой полную систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов , но прежде чем решать эту систему, выгодно преобразовать ее так, чтобы неизвестными была только одна группа коэффициентов

Из уравнения (3.4) выразим

3.7

Объединяя уравнения (3.1), (3.2) с соотношением (3.7) представим коэффициенты также через коэффициенты

3.8

После подстановки выражений (3.7) и (3.8) в соотношение (3.3) получим уравнение, в которое входят только неизвестные коэффициенты . Для симметричности записи в полученном уравнении уменьшим значение индекса на единицу

3.9

При , учитывая условие свободного конца сплайна, в (3.9) следует положить

3.10

Таким образом, уравнение вида (3.9) вместе с условиями (3.5) и (3.10) образует систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов . Коэффициенты вычисляются после нахождения по формулам (3.7) и (3.8) коэффициенты равны значениям аппроксимируемой функции в узлах в соответствии с формулой (3.1).

В каждое из уравнений типа (3.9) входят только три не известных с последовательными значениями индексов . Следовательно, матрица системы линейных алгебраических уравнений относительно является трехдиагональной. Для решения систем с трех диагональной матрицей наиболее эффективно применять метод прогонки.