
- •Содержание
- •Лабораторная работа №1. Теория погрешностей Цель работы
- •Основные источники погрешностей
- •Абсолютная погрешность
- •Относительная погрешность
- •Округление чисел
- •Значащие цифры
- •Влияние погрешностей аргументов на значение функции
- •Задание
- •Лабораторная работа №2. Решение систем линейных уравнений Цель работы
- •Методы решения систем линейных уравнений
- •Итерационные методы
- •Метод итерации
- •Метод Зейделя
- •Достаточное условие сходимости метода
- •Условия окончания итерационного процесса
- •Точные методы Метод Гаусса
- •Метод Халецкого
- •Метод прогонки
- •Задание
- •Интерполяция сплайнами
- •Сглаживание
- •Метод наименьших квадратов
- •Сглаживание функции, заданной таблицей значений в неравноотстоящих точках, с помощью многочлена первой степени, построенного по трем последовательным точкам методом наименьших квадратов.
- •Сглаживание функции, заданной таблицей значений в равноотстоящий точках, с помощью многочлена первой степени, построенного по трем последовательным точкам методом наименьших квадратов
- •2.2. Сглаживание функции, заданной таблицей значений в равноотстоящий точках, с помощью многочлена первой степени, построенного по пяти последовательным точкам методом наименьших квадратов
- •2.3. Сглаживание функции, заданной таблицей Значений в равноотстоящий точках, с помощью многочлена третьей степени, построенного по пяти последовательным точкам методом наименьших квадратов
- •Задание
- •Вторая производная
- •Задание
- •Оценка точности метода Ньютона-Котеса
- •Задание
- •Метод половинного деления
- •Метод хорд (ложного положения)
- •Метод касательных (Ньютона-Рафсона)
- •Метод секущих
- •Метод простой итерации (последовательных приближений)
- •Задание
- •Методы Рунге-Кутта
- •Метод Эйлера
- •Исправленный метод Эйлера
- •Модифицированный метод Эйлера
- •Метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности
- •Задание
- •Содержание отчета
- •Лабораторная работа №8. Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка методом прогонки
- •Задание
- •Литература
Интерполяция сплайнами
Пусть функция
задана таблицей своих значений:
,
.
Сплайном степени
называется функция
,
обладающая следующими свойствами:
функция
непрерывна на отрезке
вместе со своими производными до
некоторого порядка
.
на каждом частичном
отрезке
функция совпадает с некоторым
алгебраическим многочленом
степени
.
Разность
между степенью сплайна и наивысшим
порядком непрерывной на отрезке
производной называют дефектом сплайна.
Кусочно-линейная функция является
сплайном первой степени с дефектом,
равным единице.
Рассмотрим один
из наиболее распространенных вариантов
интерполяции кубическими сплайнами.
Функцию
будем использовать для аппроксимации
зависимости
.
где
,
- коэффициенты сплайна, определяемые
из дополнительных условий;
- номер сплайна.
Коэффициенты сплайнов определяются из условий сшивания соседних сплайнов в узловых точках:
равенство значений
сплайнов
и аппроксимируемой функции
в узлах:
непрерывность
первой и второй производных от сплайнов
в узлах
,
Кроме перечисленных
условий, необходимо задать условия на
концах, т.е. в точках
.
В общем случае эти условия зависят от
конкретной задачи. Довольно часто
используются условия свободных концов
сплайнов.
Получим алгоритм
определения коэффициентов кубических
сплайнов. Условия в узлах
после подстановки
сплайна принимают вид
3.1
3.2
где
Продифференцируем дважды сплайн по переменной
.
Из условий
непрерывности производных, при переходе
в точке
от
к
,
получим следующие соотношения:
3.3
3.4
И, наконец, из граничных условий на основании выражения для второй производной получим, что
3.5
3.6
Полученные
соотношения (3.1 – 3.6) представляют собой
полную систему линейных алгебраических
уравнений относительно коэффициентов
,
но прежде чем решать эту систему, выгодно
преобразовать ее так, чтобы неизвестными
была только одна группа коэффициентов
Из уравнения (3.4)
выразим
3.7
Объединяя уравнения
(3.1), (3.2) с соотношением (3.7) представим
коэффициенты
также через коэффициенты
3.8
После подстановки выражений (3.7) и (3.8) в соотношение (3.3) получим уравнение, в которое входят только неизвестные коэффициенты . Для симметричности записи в полученном уравнении уменьшим значение индекса на единицу
3.9
При
,
учитывая условие свободного конца
сплайна, в (3.9) следует положить
3.10
Таким образом,
уравнение вида (3.9) вместе с условиями
(3.5) и (3.10) образует систему линейных
алгебраических уравнений для определения
коэффициентов
.
Коэффициенты
вычисляются
после нахождения
по формулам (3.7) и (3.8) коэффициенты
равны значениям аппроксимируемой
функции в узлах в соответствии с формулой
(3.1).
В каждое из уравнений
типа (3.9) входят только три не известных
с последовательными значениями индексов
.
Следовательно, матрица системы линейных
алгебраических уравнений относительно
является трехдиагональной. Для решения
систем с трех диагональной матрицей
наиболее эффективно применять метод
прогонки.