Метод Халецкого

Допустим, что мы должны решить систему уравнений (2.1), заданную в матричной форме . Метод основан на разложении квадратной матрицы на две треугольные:

Тогда . Обозначим . Получим . Теперь вместо одной мы будем иметь две системы уравнений:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Из первой системы последовательно определяются вспомогательные неизвестные . После этого из второй системы в обратном порядке определяются искомые .

Разложение матрицы А на две треугольные производят следующим образом. Имеем тождество:

Выполняя произведение матриц в правой части тождества и приравнивая соответствующие результаты произведений элементам матрицы , получим последовательно элементы матриц и .

Вычисления облегчаются, если придерживаться следующей последовательности операций:

1. строки на 1-й столбец  1 столбец ,

2. 1 строка на столбцы  1 строка ,

3. строки на 2-й столбец  2 столбец ,

4. 2 строка на столбцы  2 строка ,

5. строки на 3-й столбец  3 столбец ,

6. 3 строка на столбцы  3 строка ,

7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Таким образом, на каждой итерации получаем один столбец матрицы D и строку C:

,

Для решения системы линейных уравнений метод Халецкого выгоднее метода последовательных исключений, причем, чем больше число неизвестных, тем преимущество становится больше.

Метод прогонки

Метод прогонки применяется для решения систем с трехдиагональной матрицей, и является адаптацией метода Гаусса к этому случаю. Запишем систему уравнений

в матричном виде: где

Прямой ход метода прогонки (вычисление вспомогательных величин):

Обратный ход метода прогонки (нахождение решения):

Задание

Задача 1.

Разработать алгоритмы решения СЛАУ прямым и итерационным методом согласно варианту Таблица 2.1. Написать программу, реализующую эти алгоритмы. В программе предусмотреть процедуру ввода произвольной системы уравнений, в методе Гаусса вывести на экран результат и треугольную матрицу, в методе Халецкого результат и матрицы C и D, в итерационных методах проверить сходимость, задать максимальное число итераций, предусмотреть процедуру последовательного вывода всех приближений.

Таблица 2.1. Варианты методов решения СЛАУ

Вариант	Методы
1	Метод Гаусса, метод итерации
2	Метод Гаусса, метод Зейделя
3	Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу, метод итерации
4	Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу, метод Зейделя
5	Метод Халецкого, метод итерации
6	Метод Халецкого, метод Зейделя

Задача 2.

Разработать алгоритм и программу решения системы с трехдиагональной матрицей методом прогонки.

Содержание отчета

1. Цель работы.

2. Блок-схемы алгоритмов.

3. Пример работы программы.

Лабораторная работа №3. Интерполяция и сглаживание

Цель работы

Изучение методов интерполяции и сглаживания. Разработка соответствующих алгоритмов и программ.

Интерполяция

Интерполяция – отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным её значениям.

Интерполяционный полином Лагранжа

Пусть функция задана таблицей своих значений: , Требуется найти многочлен степени , такой, что значения функции и многочлена в точках таблицы совпадают.

Одна из форм записи интерполяционного многочлена - многочлен Лагранжа

, где

Многочлен представляет собой многочлен степени , удовлетворяющий условию

Таким образом, степень многочлена равна и при в сумме обращаются в нуль все слагаемые, кроме слагаемого с номером , равного .

Пример:

По таблице построим интерполяционный многочлен Лагранжа

	-1	0	1	2
	4	2	0	1