Округление чисел

При вычислениях часто приходится иметь дело с числами, содержащими большое количество значащих цифр. Независимо от того, точные эти числа или приближенные, часть цифр иногда целесообразно отбрасывать. Минимальную погрешность округления дает следующее правило:

Правило округления чисел. Чтобы округлить число до значащих цифр, отбрасывают все его цифры, стоящие справа от значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разрядов чисел, заменяют их нулями. При этом:

1. если первая (слева) отбрасываемая цифра меньше 5, то все сохраняемые цифры остаются без изменения;

2. если первая отбрасываемая цифра больше 5 или если она равна 5, но среди остальных отбрасываемых цифр есть ненулевые, то к последней сохраняемой цифре прибавляется единица;

3. если первая отбрасываемая цифра равна 5 и все остальные отбрасываемые цифры являются нулями, то последняя сохраняемая цифра остается неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная.

Значащие цифры

Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Значащую цифру числа называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Влияние погрешностей аргументов на значение функции

Пусть дифференцируемая функция своих аргументов, вычисление которой производится при приближенно заданных значениях

Тогда для абсолютной погрешности функции справедлива следующая оценка

Для относительной погрешности функции справедливо следующее приближенное равенство , где

Можно также воспользоваться равенством

Задание

Задача 1. Дан ряд . Найти сумму ряда аналитически. Вычислить значения частичных сумм ряда и найти величину абсолютной погрешности при значениях .

Порядок решения задачи:

1. Найти сумму ряда S аналитически как предел частичных сумм ряда.

Пример:

, . .

2. Используя функцию , вычислить значения частичных сумм ряда при указанных значениях .

3. Для каждого вычислить величину абсолютной погрешности и определить количество верных цифр в .

4. Представить результаты в виде гистограммы.

Задача 2. Дана матрица . В каждый из диагональных элементов матрицы A по очереди внести погрешность в 1%. Как изменился определитель матрицы А? Указать количество верных цифр и вычислить величину относительной погрешности определителя в каждом случае.

Задача 3. Дано квадратное уравнение . Предполагается, что один из коэффициентов уравнения (в индивидуальном варианте помечен *) получен в результате округления. Произвести теоретическую оценку погрешностей корней в зависимости от погрешности коэффициента. Вычислить корни уравнения при нескольких различных значениях коэффициента в пределах заданной точности. Сравнить полученные результаты.

Варианты заданий приведены в таблицах 1.1, 1.2, 1.3.

Таблица 1.1. варианты к задаче 1.

№		№		№
1.1		1.2		1.3
1.4		1.5		1.6

Таблица 1.2. варианты к задаче 2.

№	A	№	A	№	A
2.1	3 2 2 33 28 24 360 320 270	2.2	30 34 19 314 354 200 2 8 13	2.3	1.3 1 13 3.4 1.4 23 5 3 1.5
2.4	9 5 6 17 9 11 7 4 5	2.5	-7 -7 -1 0 -2 -6 5 6 4	2.6	3 1 13 5 3 15 11 5 40

Таблица 1.3. варианты к задаче 3.

№	Коэффициенты	№	Коэффициенты	№	Коэффициенты
3.1	b* = -39.6 c = -716.85	3.2	b = 27.4 c* = 187.65	3.3	b* = 37.4 c = 187.65
3.4	b = -30.9 c* = 238.7	3.5	b* = -3.29 c = 2.706	3.6	b = -3.29 c* = 2.706