Модифицированный метод Эйлера

В исправленном методе Эйлера усреднялись наклоны касательных. Можно пойти по другому пути и усреднять точки в следующем смысле. Рассмотрим рис. 7.3, где первоначальное построение сделано точно так же, как и на рис. 7.1 – через точку , проведена прямая с тангенсом угла наклона, равным .

Но на этот раз мы берем точку, лежащую на пересечении этой прямой и ординаты . На рисунке эта точка обозначена через , а ее ордината равна . Вычислим тангенс угла наклона касательной в этой точке

, где .

Прямая с таким наклоном, проходящая через , обозначена через . Вслед за тем, мы проводим через точку , прямую, параллельную , и обозначаем ее через . Пересечение этой прямой с ординатой и даст искомую точку , .Уравнение прямой можно записать в виде.

Рисунок 7.3 Геометрическое представление модифицированного метода Эйлера.

. 7.3

Соотношение (7.3) описывает так называемый модифицированный метод Эйлера. Этот метод согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов степени и является поэтому еще одним методом Рунге-Кутта второго порядка.

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности

Наиболее популярен алгоритм Рунге-Кутта четвертого порядка, описанный в большинстве книг по методам вычислений. Он обеспечивает малую погрешность для широкого класса систем ОДУ и, при этом, довольно экономичен (на каждом шаге интегрирования требуется вычисление четырех значений функции ):

В этом методе величины вычисляются по следующим формулам:

Задание

Для заданного варианта задачи Коши , , разработать алгоритмы решения двумя методами табл. 7.1 и написать программу, в которой предусмотреть процедуру ввода значения шага . Помимо приближенных значений решения вычисленных в точках вывести на экран точные значения . Результаты представить в виде графиков решения или таблиц (табл. 7.3).

Варианты правой части и точные решения с соответствующими начальными условиями приведены табл. 7.2.

Таблица 7.1 Методы решения ОДУ

Вариант	Методы
1	Эйлера, исправленный Эйлера
2	Эйлера, модифицированный Эйлера
3	Эйлера, Рунге-Кутта четвертого порядка
4	Исправленный Эйлера, модифицированный Эйлера
5	Рунге-Кутта четвертого порядка, модифицированный Эйлера
6	Рунге-Кутта четвертого порядка, исправленный Эйлера