Методы Рунге-Кутта
Методы Рунге — Кутта обладают следующими отличительными свойствами:
1. Эти методы
являются одноступенчатыми: чтобы найти
,
нужна информация только о предыдущей
точке
.
2. Они согласуются
с рядом Тейлора вплоть до членов порядка
,
где степень
различна
для различных методов и называется
порядком метода.
3. Они не требуют
вычисления производных от
,
а требуют только вычисления самой
функции.
Именно благодаря третьему свойству методы Рунге — Кутта более удобны для практических вычислений, нежели ряд Тейлора. Однако, как и можно ожидать, для вычисления одной последующей точки решения нам придется вычислять функцию несколько раз при различных значениях и Эго та цена, которую приходится платить за право не вычислять никаких производных, но цена более чем умеренная.
Как можно заранее предположить, различные методы этой категории требуют большего или меньшего объема вычислений и соответственно обеспечивают большую или меньшую точность. Для того чтобы рассмотреть сущность этих методов, рассмотрим сначала один из них, известный под названием метода Эйлера. Этот метод очень редко применяется на практике, но, как и в случае рядов Тейлора, является отправной точкой для дальнейшего изложения.
Метод Эйлера
Предположим, что
нам известна точка
,
на
искомой кривой. Тогда мы можем провести
прямую линию с тангенсом угла наклона
,
которая пройдет
через точку
,
.
Это построение показано на рис. 7.1, где
кривая представляет собой точное, но,
конечно, неизвестное решение уравнения,
а прямая линия
построена так, как это только что описано.
Тогда следующей точкой решения можно
считать ту, где прямая
пересечет ординату, проведенную через
точку
.
Уравнение прямой выглядит так:
,
но ведь
,
и кроме того,
,
так что
. 7.1
Ошибка при
показана в виде отрезка
.
Рисунок 7.1 Геометрическое представление метода Эйлера.
Формула (7.1) описывает метод Эйлера, один из самых старых и широко известных методов численного интегрирования дифференциальных уравнений.
Этот метод имеет довольно большую ошибку ограничения; кроме того, он очень часто оказывается неустойчивым — малая ошибка (происходящая от ограничения, округления или заложенная в исходных данных) увеличивается с ростом .
Для вычисления значения метод Эйлера использует наклон касательной только в точке , . Этот метод можно усовершенствовать множеством различных способов. Из этих способов мы здесь рассмотрим два, так называемые исправленный метод Эйлера и модифицированный метод Эйлера.
Исправленный метод Эйлера
В исправленном
методе Эйлера мы находим средний тангенс
угла наклона касательной для двух точек:
,
и
,
.
Последняя точка есть та самая, которая
в методе Эйлера обозначалась
,
.
Геометрически процесс нахождения точки
,
можно проследить по рис. 7.2. С помощью
метода Эйлера находится точка
,
,
лежащая на прямой
.
В этой точке снова вычисляется тангенс
угла наклона касательной, на рисунке
этому значению соответствует прямая
.
Усреднение двух тангенсов дает прямую
.
Наконец, через точку
,
мы проводим прямую
,
параллельную
.
Точка, в которой прямая
пересечется с ординатой, восстановленной
из
,
и будет искомой точкой
,
.
Рисунок 7.2 Геометрическое представление исправленного метода Эйлера.
Тангенс угла наклона прямой и прямой равен
,
где
.
Уравнение линии при этом записывается в виде
,
так что
. 7.2
Соотношение (7.2) описывает исправленный метод Эйлера.
Как видим,
исправленный метод Эйлера согласуется
с разложением в ряд Тейлора вплоть до
членов степени
,
являясь, таким образом, методом Рунге-Кутта
второго порядка. При использовании
этого метода функцию
приходится вычислять дважды — в точке
,
и в точке
,
.