НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

Методические указания к лабораторным работам

для студентов II курса дневного отделения АВТФ

направления 230100 «Информатика и вычислительная техника».

НОВОСИБИРСК

2006

Составитель В.В. Ландовский, ассистент.

Рецензент П.В. Терещенко, доцент.

Работа подготовлена на кафедре

автоматизированных систем управления

Содержание

Лабораторная работа №1. Теория погрешностей 4

Лабораторная работа №2. Решение систем линейных уравнений 8

Лабораторная работа №3. Интерполяция и сглаживание 16

Лабораторная работа №4. Численное дифференцирование 25

Лабораторная работа №5. Численное интегрирование 26

Лабораторная работа №6 Численное решение нелинейных уравнений 31

Лабораторная работа №7 Численное решение дифференциальных уравнений 36

Лабораторная работа №8. Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка методом прогонки 43

Литература 45

Лабораторная работа №1. Теория погрешностей Цель работы

Ознакомиться с основными положениями теории погрешностей. Провести вычислительные эксперименты, иллюстрирующие эти положениями.

Основные источники погрешностей

Численные методы в настоящее время относятся к основным методам решения задач математики и различных ее приложений. Они характеризуются тем, что сводят процесс решения математической задачи к некоторой конечной последовательности операций над числами и приводят к результатам, представленным в виде чисел, числовых векторов и матриц, числовых таблиц и т. п. Их значение возрастает параллельно с развитием вычислительной техники.

В то же время полученные численными методами результаты обычно содержат погрешности, являясь лишь приближениями к искомым ответам. Вызвано это рядом объективных причин, среди которых есть не связанные непосредственно с методами вычислений. Чтобы разобраться в них, проанализируем основные этапы математического решения прикладных задач, а именно:

1. Построение математической модели задачи.

2. Определение исходных данных.

3. Решение полученной математической задачи.

Погрешности, внесенные на этапе решения математической задачи численными методами, как правило, обусловлены двумя основными причинами:

1. ограниченность разрядной сетки вычислительных устройств.

2. применение приближенных методов

В процессе вычислений обязательно следует вести учет погрешностей, поскольку приближенные результаты решения задач бесполезны без информации о степени их точности.

Абсолютная погрешность

Пусть - точное значение, а - приближенное значение некоторой величины.

Абсолютной погрешностью приближенного значения называется величина . Так как, значение как правило неизвестно, чаще получают оценки погрешностей вида . Величину называют верхней границей (или просто границей) абсолютной погрешности.

Абсолютная погрешность дает ценную информацию о неизвестном точном значении : оно находится от известного приближения а на расстоянии, не большем чем .

Относительная погрешность

При приближенных измерениях и вычислениях возникает потребность в характеристике качества проделанной работы. Для этой цели знание только абсолютной погрешности оказывается недостаточным.

Пример: Найдена масса одного предмета кг. с точностью до 0,1 кг. и с такой же точностью определена масса кг. другого предмета. Хотя , ясно, что первое измерение выполнено лучше, чем второе

Для оценки качества измерений или вычислений вводится понятие относительной погрешности. Относительной погрешностью значения (при ) называется величина . Она является безразмерной величиной и потому часто выражается в процентах

Величину называют верхней границей (или просто границей) относительной погрешности: