Метод наименьших квадратов (расчёт коэффициентов)

На практике линия регрессии чаще всего ищется в виде линейной функции (линейная регрессия), наилучшим образом приближающей искомую кривую. Делается это с помощью метода наименьших квадратов, когда минимизируется сумма квадратов отклонений реально наблюдаемых от их оценок (имеются в виду оценки с помощью прямой линии, претендующей на то, чтобы представлять искомую регрессионную зависимость):

(M — объём выборки). Этот подход основан на том известном факте, что фигурирующая в приведённом выражении сумма принимает минимальное значение именно для того случая, когда .

Для решения задачи регрессионного анализа методом наименьших квадратов вводится понятие функции невязки:

Условие минимума функции невязки:

Полученная система является системой линейных уравнений с неизвестными

Если представить свободные члены левой части уравнений матрицей

а коэффициенты при неизвестных в правой части матрицей

то получаем матричное уравнение: , которое легко решается методом Гаусса. Полученная матрица будет матрицей, содержащей коэффициенты уравнения линии регрессии:

Для получения наилучших оценок необходимо выполнение предпосылок МНК (условий Гаусса-Маркова). В англоязычной литературе такие оценки называются BLUE (Best Linear Unbiased Estimators) − наилучшие линейные несмещенные оценки.

2 Описание применяемой программы

Для нахождения поставленной цели будет использовать Инструментальную среду Delphi. Delphi - императивный, структурированный, объектно-ориентированный язык программирования, диалект Object Pascal. Начиная со среды разработки Delphi 7.0, в официальных документах Borland стала использовать название Delphi для обозначения языка Object Pascal. Начиная с 2007 года уже язык Delphi (производный от Object Pascal) начал жить своей самостоятельной жизнью и претерпевал различные изменения, связанные с современными тенденциями (например, с развитием платформы .NET) развития языков программирования: появились class helpers, перегрузки операторов и другое. Изначально среда разработки была предназначена исключительно для разработки приложений Microsoft Windows, затем был реализован также для платформ Linux (как Kylix), однако после выпуска в 2002 году Kylix 3 его разработка была прекращена, и, вскоре после этого, было объявлено о поддержке Microsoft .NET.

2.1 Описание интерфейса программы

Перейдём к описанию Интерфейса программы. На рисунке 1 показаны все использующиеся в интерфейсе программы детали: 3 кнопки, таблица, график и 4 поля ввода, поля ввода были описаны ранее, в таблице открываются данные, в поле графика появляется график полинома, и оставшиеся кнопки служат для загрузки Microsoft Office Excel и вывода коэффициентов.

Рисунок 1-Интерфейс программы.

Описание диалоговых окон

При запуске программы появляется следующие окно рисунок 2. На нём представлены все необходимые кнопки и поля для ввода и поле для рисование графика так же поле, где будет отображаться таблица с исходными данными.

Рисунок 2-Общий вид программы

При нажатии на кнопку "Открыть файл" открывается диалоговое окно, в котором нужно выбрать файл с экспериментальными данными рисунок 3.

Рисунок 3- Окно открытия файла данных

На рисунке 4 представлены все поля ввода и вывода данных. Поля N,A0,A1,A2 существуют для ввода и вывода данных, так в поле N мы вводим степень полинома, а в полях A0,A1,A2 выводятся эти самые коэффициенты.

Рисунок 4- Поля ввода и вывода

2.2 Исходные данные программы

Исходными данными к этой программе служит таблица экспериментальных данных представленная на рисунке 5.

Рисунок 5-Таблица исходных данных