Лекции по теории вероятностей / lect6

Лекция 6

На прошлой лекции было введено понятие случайной величины X(ω), как функции от элементарного исхода ω. Случайная величина - это величина, значе-

ние которой определяется исходом эксперимента.

Была также введена функция распределения случайной величины

FX (u) = P (X < u).

Фунция распределения обладает свойствами:

1)F (u1) ≤ F (u2), u1 < u2.

2)F (u) - непрерывна слева при каждом u R.

3)limu→−∞ F (u) = 0, limu→∞ F (u) = 1.

Каждая функция, обладающая свойствами 1)-3) может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины.

Абсолютно-непрерывные распределения

Определение. Случайная величина X(ω) имеет абсолютнонепрерывное распределение, если существует функция f(v) ≥ 0 такая, что для любого u R

Z u

F (u) = f(v)dv.

−∞

При этом функция f(u) называется плотностью распределения случайной вели- чины X(ω).

В дальнейшем, будем предполагать, что плотность распределения f(v) непрерывна всюду, кроме конечного числа точек.

Свойства плотности распределения

Из определения вытекают следующие свойства плотности распределения.

1.f(v) ≥ 0.

2. Интеграл от плотности по всей оси равен 1

f(v)dv = lim f(v)dv = lim F (u) = 1

3. Плотность распределения случайной величины равна производной от функции распределения этой случайной величины во всех точках, где плотность непрерывна.

f(u) = F 0(u).

Свойства случайной величины, имеющей абсолютно-непрерывное распределение.

1. Функция распределения этой случайной величины непрерывна во всех точ- ках u R. (F (u) - функция верхнего предела интеграла от непрерывной функ-

öèè.)

2. Для любой u R

p(X = u) = 0.

1

3. Для любых значений u1 < u2

p(u1 < X(ω) < u2) = p(u1 ≤ X(ω) < u2) = p(u1 < X(ω) ≤ u2) =

4. Если случайная величина имеет абсолютно-непрерывное распределение, то для любого u R вероятность попасть в малую окрестность точки u примерно

равна f(u)4u

p(X (u, u + 4u)) ≈ f(u)4u.

Это следует из того, что

Z u+4u

p(u ≤ X(ω) < u + 4u) = f(v)dv = f(u)4u + o(4u).

u

o(4u) → 0 ïðè 4u → 0.

Примеры абсолютно-непрерывных распределений.

1. Равномерное распределение на отрезке [a,b] R(a,b), −∞ < a < b <

∞. Случайная величина X(ω) имеет равномерное распределение на отрезке [a,b], если ее плотность распределения равна

Если случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a,b], то вероятность попасть в любой отрезок [c, d] [a, b] пропорцирнальна длине этого

отрезка и равна

Пример. Электропоезда метро ходят с интервалом в 3 минуты. Найти вероятность того, что пассажир будет ждать поезда больше минуты.

Обозначим через X - время, прошедшее от ухода поезда до прихода пассажира. Очевидно, что X принимает значения в интервале [0,3]. Все значения этого интервала равновозможны. Поэтому естественно предполагать, что X имеет рав-

номерное распределение на отрезке [0,3]. Плотность распределения случайной величины X равна

(

0, 1 , u [0, 3], f(u) = 3

0, u / [0, 3].

2

Поэтому

2. Показательное (зкспоненциальное) распределение E(α), α > 0. Слу- чайная величина имеет показательное распределение E(α), если плотность распределения этой случайной величины равна

(

f(u) =

0, u ≤ 0, αe−αu, u > 0.

Тогда функция распределения этой случайной величины равна

(

F (u) =

0, u ≤ 0,

1 − e−αu, u > 0.

Показательное распределение используется в системах массового обслуживания.

Пример. Время ремонта случайно выбранного будильника - случайная величина X, имеющая показательное распределение с параметром α = 0.1. Найти

вероятность того, что починка будильника займет не более 10 часов.

Решение. Вычислим

p(X(ω) ≤ 10) = 1 − e−0.1·10 = 1 − e−1 = 0.632.

Показательное распределение является единственным из абсолютно непрерывных распределений, для которых выполнено свойство нестарения (свойство отсутствия последействия). Это свойство состоит в том, что при любых v > 0, u >

0, p(X < u + v/X ≥ u) = p(X < v). Действительно,

В этой формуле (λ) = R0∞ yλ−1e−ydy, (λ > 0) - гамма-функция Эйлера.

ЭЙЛЕР, ЛЕОНАРД (1707 1783) входит в первую пятерку величайших математиков всех времен и народов. Родился в Базеле (Швейцария), умер в СанктПетербурге.

3

Замечание. Гамма-функция обладает следующими свойствами. 1. (λ) = (λ − 1) (λ − 1).

2. При k целых (k) = (k − 1)!.

√

3. (1) = 1, (1/2) = π.

Из определения гамма-распределения следует, что показательное распределение - это гамма распределение с параметрами 1, α. (E(α) = (1, α)).

Нормальное (гауссовское) распределение N(a, σ2), −∞ < a < ∞, σ > 0.

Гаусс (1777-1855г.г.) немецкий математик.

Случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами a, σ (X имеет распределение N(a, σ2)), если плотность распределения этой случайной величины равна

Это распределение называют еще распределением Гаусса, а функцию плотности гауссовой кривой.

Если a = 0, σ = 1, то нормальное распределение называется стандартным

нормальным распределением.

Будем обозначать Φa,σ(x) - функцию распределения нормального закона с параметрами a, σ. Через Φ(x) = Φ0,1(x) будем обозначать функцию распределения стандартного нормального закона. Справедлива следующая лемма.

Лемма. Функция распределения нормального закона с параметрами a, σ вы- числяется через функцию распределения стандартного нормального закона:

Пример. Известно, что рост мужчин в возрасте от 20 до 40 лет - случайная величина, имеющая нормальное распределение с параметрами а=173, σ2 = 36.

Какую долю костюмов четвертого роста (176-182) нужно предусмотреть в общем количестве мужских костюмов для данной возрастной категории?

Решение. Пусть X - рост случайно выбранного мужчины данной возрастной категории. Предполагается, что случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами 173 и 6. Вычислим

p(176 < X < 182) = Φ173,6(182) − Φ173,6(176) =

= Φ((182 − 173)/6) − Φ((176 − 173)/6) = Φ(3/2) − Φ(1/2) = 0, 2418.

4

Свойства стандартного нормального распределения

0.Функция распределения стандартного нормального закона затабулирована. Функция Φ(u) быстро стремится к 1 при возрастании u и быстро стремится

êнулю при убывании u. (Φ(3) = 0, 99865, Φ(−3) = 0, 00135).

1.Φ(0) = 1/2.

2.Φ(u) = 1 − Φ(−u) для любого u.

3.Если X имеет стандартное нормальное распределение, то

p(|X| < u) = 1 − 2Φ(−u) = 2Φ(u) − 1.

Правило трех сигм. Если X имеет нормальное распределение с параметрами a, σ, то

p(|X − a| ≥ 3σ) = 0.0027.

Действительно,

p(|X − a| ≥ 3σ) = 1 − p(|X − a| < 3σ) = 1 − p(a − 3σ < X < a + 3σ) =

= 1 − (Φa,σ(a − 3σ) − Φa,σ(a + 3σ)) = 1 − (Φ(3) − Φ(−3)) = 0.0027.

5