Лекции по теории вероятностей / lect2-3

Лекции 2-3 Аксиоматика теории вероятностей

Часто бывает необходимо рассматривать не только дискретное пространство элементарных исходов. Построение математической теории, позволяющей изу- чать общее пространство элементарных исходов оказалось трудной математиче- ской задачей, которая была решена лишь в XX веке А.Н.Колмогоровым. В 1936 году вышла книга А.Н.Колмогорова "Основные понятия теории вероятностей". Предложенный в этой книге подход к изучению теории вероятностей получил название аксиоматическая теория вероятностей Колмогорова. В этом подходе к изучению теории вероятностей привлекается развитый к тому времени математический аппарат ( теория меры, интеграл Лебега и т.д.)

Колмогоров Андрей Николаевич (1903-1987г.)- великий русский ученый. Колмогоров один из самых выдающихся представителей математики XX века в самом широком смысле этого слова, включающем и прикладную математику.

σ - алгебра событий.

Пусть Ω пространство элементарных исходов эксперимента, а A - совокупность подмножеств Ω.

Определение. Совокупность подмножеств A называется σ-алгеброй собы-

òèé, åñëè

a1. Ω A (σ - алгебра событий содержит достоверное событие)

a2. Если A A, то A A (Вместе с событием А σ -алгебра содержит проти-

Замечание Вместо первой аксиомы a1 достаточно предположить, что A не пусто, то есть содержит хотя бы одно множество.

Действительно, пусть A A. По аксиоме а2

A A.

Поэтому, по аксиоме а3

Ω = A + A A

Условия a1-a3 часто называют аксиомами σ - алгебры.

Над множествами из Ω можно проводить обычные операции над множества-

ìè.

Свойства σ-алгебры событий.

Свойство 1. Ш A (σ - алгебра событий A содержит пустое множество)

T∞

Свойство 2. åñëè A1, A2, ... A, òî i=1 Ai A. ( вместе с конечным или счетным множеством событий σ- алгебра содержит их пересечение)

Доказательство. Если

A1, A2, ... A,

то при всех i=1,2,... из аксиомы a2 следует, что

A1, A2, ... A.

1

Отсюда и из аксиом a2 и a3 следует, что

∞∞

[[

Но в силу формул двойственности

Отсюда и получаем, что

∞

\

Ai A.

i=1

(Как и раньше, события A, B называются несовместными, если AB = Ш.)

Свойство 3. Если события A, B A, то A \ B A.

T

Доказательство. A \ B = A B. Так как A, B A, то по свойству 2 их пересечение также принадлежит этой σ-алгебре.

Из свойств σ− алгебры A следует, что эта σ−алгебра множеств замкнута относительно операций над множествами.

Примеры σ-алгебр событий.

Пример 1. Пусть Ω- пространство элементарных исходов. Тогда A = {Ш, Ω} - σ-алгебра , состоящая из двух событий - невозможного и достоверного (тривиальная σ-алгебра).

Пример 2. A={Ш, Ω, A, A}, - где А - произвольное подмножество из Ω, также является σ-алгеброй.

Пример 3. Если пространство элементарных исходов состоит из n элементов, то множество всех подмножеств пространства элементарных исходов образует σ- алгебру, состоящую ровно из 2n элементов.

Пример 4. Если пространство элементарных исходов - вся числовая прямая R, то множество всех открытых интервалов (a,b) не образует σ-алгебру. В

частности, дополнение к отрезку (a,b) (это множество точек (−∞, b] S[a, ∞)) íå

является открытым интервалом. Однако, если рассмотреть множество всех открытых интервалов, дополнений этих интервалов на числовой прямой и множество всех объединений этих интервалов в счетном числе, то совокупность таких подмножеств действительной прямой образует σ-алгебру.

Определение. Минимальная σ-алгебра, содержащая множество всех откры-

тых интервалов (a,b), дополнений этих интервалов на числовой прямой R и множество всех объединений (и пересечений) этих интервалов в счетном числе называется борелевской σ-алгеброй в R .

Эмиль БОРЕЛЬ (полное имя Феликс Эдуар Жюстен Эмиль) французский математик 1871-1956г.Создатель нескольких отраслей современного математического анализа (расходящиеся ряды, расширение понятия аналитической

2

функции, меры множеств, диофантовы приближения). Ряд работ посвящен вопросам математической физики и теории вероятностей.

Замечание. Из определения борелевской σ-алгебры на прямой следует, что эта σ-алгебра содержит все точки прямой, все полуоткрытые интервалы, все закрытые интервалы на прямой.

Если есть пара (Ω, A) - пространство элементарных исходов Ω и σ-алгебра A случайных событий, то определим теперь вероятности случайных событий.

Распределение вероятностей на (Ω,A)

Определение. Числовая функция p(A), определенная при всех A A, называется вероятностью или вероятностной мерой на (Ω,A), если:

Ð1. для любого события А

p(A) ≥ 0;

P2. p(Ω) = 1 (вероятность достоверного события равна 1);

P3. для любого счетного набора попарно несовместных событий A1, A2, ... A имеет место равенство

∞∞

XX

p( Ai) = p(Ai).

i=1 i=1

Замечание Аксиома Р3 эквивалентна следующим двум аксиомам

Ð3' Для попарно несовместных событий А и В p(A + B) = p(A) + p(B) P3" Для последовательности монотонно убывающих множеств

A1 A2 ... An ...

таких, что

∞

\

Ai = Ø

i=1

справедливо следующее

lim p(Ai) = 0

i→∞

Аксиома Р3"называется аксиомой непрерывности вероятности.

Свойства Р1-Р3 называют аксиомами вероятности (аксиомы P1,P2,P3',P3"также часто называют аксиомами вероятности)

Свойства вероятности

0. p(Ø) = 0

Пустое множество принадлежит σ- алгебре случайных событий. Возьмем в качестве Ai = Ш, i = 1, 2, ... Тогда объединение (сумма) счетного числа

Σ∞i=1Ai = Ø.

Но тогда по аксиоме Р2

p(Σ∞i=1Ai) = Σ∞i=1p(Ø) = p(Ø).

3

Àэто верно лишь если p(Ш) = 0.

1.Для любого конечного набора случайных попарно несовместных событий

A1, ..., An A

nn

[X

Доказательство. Пусть Ai = Ш при всех i>n. События A1, ..., An, Ш, Ш, .. попарно несовместны. По аксиоме Р2

2. p(A) = 1 − p(A).

Очевидно, что A + A = Ω. Поэтому из 1 следует,что p(A) + p(A) = 1.

3. Åñëè A j B, òî p(B \ A) = p(B) − p(A).

Очевидно, что B = A + B \ A. Слагаемые в этой сумме попарно несовместны. Поэтому

p(B) = p(A) + p(B \ A)

Отсюда и следует свойство 3.

4.Åñëè A j B, òî p(A) ≤ p(B).

Свойство 4. следует из 3.

5. 0 ≤ p(A) ≤ 1.

Это свойство следует из того, что A Ω.

6. Из аксиоматического определения легко может быть получена формула сложения вероятностей

p(A + B) = p(A) + p(B) − p(AB).

Доказательство формулы сложения вероятностей следует из равенства

A + B = A + B \ AB

и из cвойства 3. Действительно,

p(A + B) = p(A) + p(B \ AB) = p(A) + p(B) − p(AB).

7. Из предыдущего свойства сразу следует, что

p(A + B) ≤ p(A) + p(B).

8. Из свойства 7 следует, что

n

X p(Ai + ... + An) ≤ p(Ai).

i=1

4

9. Используя формулу сложения для двух слагаемых (свойство 6) по индукции можно доказать формулу сложения вероятностей для любого конечного числа слагаемых.

X

+p(AiAjAm) + ... + (−1)n−1p(A1A2...An).

1≤i<j<m≤n

10. Приведем без доказательства следствие аксиомы непрерывности P3". Для последовательности монотонно невозрастающих множеств

A1 A2 ... An ...

таких, что

∞

\

Ai = A,

i=1

выполняется предельное соотношение

lim p(Ai) = p(A).

i→∞

Определение. Тройка (Ω, A, P ), в которой Ω пространство элементарных исходов, A - σ-алгебра случайных событий, а P - вероятностная мера на этих событиях называется вероятностным пространством.

Геометрические вероятности

Рассмотрим некоторую область Ω Rn (область либо на прямой, либо на плоскости, либо в пространстве). Предположим, что мера Ω (длина, площадь,

объем соответственно) конечна. Пусть случайный эксперимент состоит в том, что в эту область наудачу бросается точка. Термин наудачу означает, что вероятность попадания точки в любую часть A Ω не зависит от формы или расположения

A внутри Ω, а зависит лишь от "меры"A.

Определение. Эксперимент удовлетворяет условиям "геометрического опре-

деления вероятности,"если его исходы можно изобразить точками некоторой области Ω в Rn так, что вероятность попадания точки в любую часть A Ω не за-

висит от формы и расположения A внутри Ω, а зависит лишь от "меры"области A (и, следовательно, пропорционально этой мере).

Рассмотрим вероятностную модель этого эксперимента. Пространство элементарных исходов - это вся область Ω, σ-алгебра событий - это совокупность

всех подмножеств Ω, для которых можно определить "меру"(длину, площадь, объем). Для любого случайного события A положим

p(A) = µ(A) , µ(Ω)

где µ(A) обозначает соответственно длину, площадь, объем множества A.

5

Если для точки, брошенной в область Ω выполнены условия геометрическо-

го определения вероятности, то говорят, что точка равномерно распределена в области Ω.

Пример. Точка бросается наудачу но отрезок [0,1]. Вероятность точки попасть в точку 0.5 равна 0, так как "длина"множества, содержащего одну точку 0.5 равна 0. Но это событие не является невозможным, так как оно не пусто. Событие, состоящее в попадании случайно брошенной точки в точку 0.5, является элементарным исходом эксперимента.

Задача о встрече

Два лица договорились встретиться между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет в течении 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи этих двух лиц, если каждый из них может придти в любое время в течении указанного часа независимо от другого?

Будем считать интервал времени с 14 до 15 часов отрезком [0,1] длиной час. Пусть x время прихода первого , а y - время прихода второго. Всевозможные результаты эксперимента - множество точек квадрата со стороной 1:

Ω = {ω = (x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} = [0, 1] × [0, 1].

Можно считать, что эксперимент сводится к бросанию точки наудачу в квадрат. При этом благоприятными исходами являются точки множества A = {(x, y) :

|x − y| ≤ 1/6}

То есть попадание в множество А точки случайно брошенной в квадрат, озна- чает, что два лица встретятся. Тогда вероятность встречи равна

Задача Бюффона.

БЮФФОН Жорж Луи Л е к л е р к (Buffon Georges Louis Leclerc) (7.9. 1707, Монбар, 16.4.1788, Париж) французский естествоиспытатель, иностранный поч¼тный чл. Петербургской АН (1776), чл. Парижской АН (1733). Уделял внимание двенадцатеричной системе счисления; первым стал заниматься задачами на геометрические вероятности. Основной труд - "Естественная история"(36 томов, 1749-88), в котором Бюффон описал множество животных и выдвинул положение о единстве растительного и животного мира.

На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу брошена игла длиной 2l(2l < 2a). Какова

вероятность того, что игла пересечет одну из прямых?

Сначала нужно понять, что здесь означает, что игла бросается наудачу. Возможные положения иглы полностью определяются положением середины иглы и углом поворота иглы относительно некоторого выбранного направления. Обозна- чим через x - расстояние от середины иглы до ближайшей прямой. Через середи-

ну иглы проведем прямую, параллельную начерченным параллельным прямым. Обозначим через ϕ [0, π] - угол между новой прямой и направлением иглы.

Множество возможных положений иглы ω = (ϕ, x) целиком определяется выбором наудачу точки из прямоугольника [0, π] Ч [0, a] = Ω.

Игла пересекает ближайшую прямую, если координаты случайно выбранной точки в прямоугольнике удовлетворяют неравенству: x ≤ l sin ϕ.

6

Площадь области А, которая удовлетворяет этому неравенству равна

Z π

µ(A) = l sin ϕdϕ = −l cos ϕ |π0 = 2l.

0

И так как µ(Ω) = aπ, то искомая вероятность равна

p(A) = aπ2l .

Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

Предположим, что бросается игральная кость. Все исходы равновозможны. Пространство элементарных исходов Ω = {ω1, ..., ω6}. Пусть А - событие, состо-

ящее в том, что при бросании кости выпадет четное число очков. Тогда вероятность события А равна 1/2.

Теперь предположим, что нам стало известно, что число выпавших очков больше 3. Это означает, что произошел один из исходов, содержащихся в событии B = {ω4, ω5, ω6}. Тогда вероятность выпадения четного числа очков равно

отношению числа исходов внутри события В, благоприятствующих событию А, деленное на число исходов, содержащихся в В.

P (A/B) = |AB| = P (AB) = 2/3. |B| P (B)

Определение. Условной вероятностью события А, при условии, что произошло событие В, называется число

P (A/B) = P (AB) .

P (B)

Будем считать, что условная вероятность определена только случае, когда

P (B) > 0.

Свойства условной вероятности

1.0 ≤ P (A/B) ≤ 1

2.P (B/B) = 1

3.Åñëè B A, òî P (A/B) = 1

4.P ((A1 + A2)/B) = P (A1/B) + P (A2/B) − P (A1A2/B)

5.P (A/B) + P (A/B) = 1

Несколько вопросоâ, касающихся определения условных вероятностей.

?

1. P (A/B) + P (A/B) = 1.

(Пусть C = выпадение "6", а В - выпадение чиñла очков больше 3 при бросании игральной кости. Тогда P (A/B) = 1/3, P (A/B) = 0)

?

2. P (A/B) + P (A/B) = 1.

3. При каких условиях верно равенство P (A/B) = P (B/A)?

7

Формула умножения для произведения конечного числа событий.

Теорема. Для любых A1, A2, ..., An

P (A1A2...An) = P (A1)P (A2/A1)P (A3/A1A2)...P (An/An−1...A1),

если все условные вероятности, входящие в формулу, определены. Справедливость

этой формулы при n = 2 сразу следует из определения условной вероятности

P (A1A2) = P (A1)P (A2/A1)

Дальше эта теорема доказывается по индукции.

Пример. В ящике 5 деталей, 3 из которых стандартные, а 2 бракованные. Вынимается 3 детали из 5. Найти вероятность того, что все вынутые детали стандартные.

Обозначим через Ai, (i = 1, 2, 3) событие, состоящее в том, что i-ая вынутая деталь - стандартная. Тогда произведение событий A1A2A3 это и есть событие

состоящее в том, что все вынутые детали стандартные. Применяя теорему умножения, находим

Формула полной вероятности.

Предположим, что у нас есть две урны : урна с номером I и урна с номером II. В урне с номером I содержится 1 белый и 1 черный шар, а в урне с номером II - 2 белых и 3 черных шара. Мы случайно выбираем урну и затем случайно выбираем из нее шар. Мы можем изобразить этот эксперимент в виде дерева.

Давайте запишем это с помощью случайных событий. Пусть H1, H2 - события,

состоящие в том, что в результате эксперимента была выбрана соответственно 1- ая или 2-ая урна. Через событие А будем обозначать событие, состоящее в том, что из случайно выбранной урны вытащен белый шар. Тогда, очевидно, что

A = H1A + H2A.

События, входящие в сумму не пересекаются. Поэтому

P (A) = P (H1A) + P (H2A).

По формуле умножения вероятностей

P (A) = P (H1)P (A/H1) + P (H2)P (A/H2).

В общем случае, пусть события H1, H2, ..., Hn, ... попарно не пересекаются

образуют полную систему событий Тогда любое событие А происходит ровно с одним из событий Hi :

A = AH1 + AH2 + ... + AHn + ...

8

(Часто события H1, H2, ..., Hn, ... называют случайными гипотезами). По формулам сложения и умножения вероятностей получаем

∞

X

P (A) = P (Hi)P (A/Hi).

i=1

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Формула Байеса.

Байес Томас (Bayes Thomas) (1702, Лондон, 7.4.1761, Танбридж) английский математик, чл. Лондонского королевского об-ва (1742). Основные труды относятся к теории вероятностей; в частности, Б. поставил и решил одну из основных задач элементарной теории вероятностей (теорема Байеса, опубл. 1763) Томас Байес родился в 1702 году в Лондоне, в семье одного из первых шести пресвитерианских священников в Англии. По существовавшим среди кальвинистов правилам, как сын духовного лица Байес получил сугубо домашнее образование, рано проявил очень большие способности к математике, однако пошел по стопам отца и в 1720-е годы стал священником пресвитерианского прихода в городке Танбридж Уэллс, что примерно в 50 километрах от Лондона. На духовной службе Байес оставался здесь вплоть до 1752 года, после отставки продолжал жить в Танбридж Уэллсе, здесь же и закончил свою жизнь еще 9 лет спустя, 17 апреля 1761 года.

Предположим, что в предыдущем примере, вытаскивая из случайно выбранной урны шар, мы вытащили белый шар. Какова вероятность того, что этот шар был вынут из I-ой урны. Другими словами, нужно найти вероятность события H1 при условии, что произошло событие А. Тогда

В общем случае, если имеется полная система событий H1, H2, ..., Hn, ... и известны вероятности P (H1), P (H2), ..., P (Hn), .., (априорные вероятности гипотез Hi), а также вероятности P (A/H1), ..., P (A/Hn), .. тогда

P (Hi)P (A/Hi)

P (Hi/A) = P∞ . j=1 P (Hj)P (A/Hj)

Эта формула и называется формулой Байеса, а условные вероятности P (Hi/A)

называются апостериорными вероятностями гипотез Hi, i = 1, 2, ...

Независимость событий

Определение. Cобытия А и В называются независимыми, если вероятность произведения этих событий равна произведению вероятностей этих событий.

P (AB) = P (A)P (B)

Из определения независимости событий очевидно следующее.

Следствие. Если P (B) > 0, то события А и В независимы тогда и только тогда, когда P (A/B) = P (A).

Если P (A) > 0, то события А и В независимы тогда и только тогда, когда

P (B/A) = P (B).

9

Рассмотрим следующий пример. Из совокупности семей с двумя детьми выбирается случайным образом одна семья. Возможны 4 исхода этого эксперимента: ММ, МД, ДМ, ДД. Предположим, что все эти исходы равновозможны (P(MM)=P(МД)=р(ДМ)=р(ДД)=1/4).

Рассмотрим следующие события. Событие А - в семье старший ребенок маль- чик, событие В - младший ребенок мальчик. Тогда событие АВ - в семье оба мальчика, а событие А+В - хотя бы один ребенок мальчик. События А и В, как легко видеть, независимы. События А и А+В зависимы.

Часто бывает интуитивно понятна независимость двух событий, но так бывает не всегда. Рассмотрим в предыдущем примере событие С - оба ребенка одного пола. Тогда события А и С - независимы. Действительно,

P (A) = 1/2, P (C) = 1/2, P (AC) = 1/4 = (1/2)(1/2), P (A/C) = 1/2 = P (A).

Замечание. Если события А и В несовместны, то они независимы тогда и только тогда, когда или P (A) = 0 или P (B) = 0.

Ëåììà. Åñëè события А и В независимы, то независимы и пары событий A и B, A и B, A и B.

Доказательство проведем лишь для пары событий A и A

P (A) = P (AB) + P (AB) = P (A)P (B) + P (AB).

Отсюда P (AB) = P (A) − P (A)P (B) = P (A)(1 − P (B)) = P (A)P (B).

Все остальные утверждения выводятся аналогично.

10