
Лекции по теории вероятностей / lect5
.pdf
Лекция 5
Случайные величины и их распределения.
Мы уже видели, что для многих распределений нет никаких различий в под- счете вероятностей событий, тогда как элементарные исходы в этих экспериментах могут быть различны. Но нас интересуют именно вероятности событий, а не структура пространства элементарных исходов. Поэтому во всех похожих экспериментах вместо самых различных элементарных исходов можно использовать, например, числа. То есть можно ввести соответствие между элементарными исходами и числами.
Пусть теперь имеется случайный эксперимент и задано вероятностное пространство (Ω, A, P ).
Определение. Числовая функция X(ω) называется случайной величиной, если для любого u R множество {ω : X(ω) < u} является событием, то есть принадлежит σ-алгебре событий A.
Из определения случайной величины и свойств σ-алгебры следует, что сле-
дующие множества также являются случайными событиями. 1) {ω : X(ω) ≥ u} = {ω : X(ω) < u} A
2)для любых u1 < u2
{ω : u1 ≤ X(ω) < u2} = {ω : X(ω) < u2} \ {ω : X(ω) < u1} A
3)для любых u
{ω : X(ω) = u} A.
Действительно,
{ω : X(ω) = u} = \{ω : u ≤ X(ω) < u + n1 }.
n
Все множества An = {ω : u ≤ X(ω) < u + n1 } A (см. предыдущий пункт 2). Поэтому и пересечение этих множеств в счетном числе является случайным
событием и
{ω : X(ω) = u} A.
Замечание. В случае дискретного пространства элементарных исходов любое множество элементарных исходов есть случайное событие. Поэтому, когда пространство элементарных исходов дискретно любая функция от элементарного исхода является случайной величиной.
На практике, чтобы не забивать себе голову абстракциями, связанными с σ алгебрами, можно смело считать, что любое множество элементарных исходов
есть событие, и, следовательно, случайной величиной является любая функция от элементарного исхода. Никаких неприятностей на практике это обычно не влечет.
Из определения случайной величины следует, что для любого u R определена
p(X(ω) < u).
1

Определение. Определенная для любого u R функция
F (u) = p(X(ω) < u)
называется функцией распределения случайной величины X(ω) .
Пример. Бросается монета. Ω = {ω1, ω2}, p(ω1) = p(ω2) = 12 . Введем слу- чайную величину
X(ω) : X(ω1) = 0, X(ω2) = 1.
Из определения следует, что функция распределения этой случайной вели- чины при всех u ≤ 0 равна
F (u) = p(X(ω) < u) = 0.
(X(ω) с вероятностью 0 принимает отрицательные значения.) Если 0 < u ≤ 1, то
F (u) = p(X(ω) < u) = p(X(ω) = 0) = 12 .
À ïðè 1 < u
F (u) = p(X(ω) < u) = p(X(ω) = 0) + p(X(ω) = 1) = 1.
Окончательно получаем
0, u ≤ 0
F (u) = 12 , 0 < u ≤ 1 .
1, u > 1
Свойства функции распределения
1. 0 ≤ F (u) ≤ 1
Это свойство следует из определения функции распределения как вероятности некоторого события.
2. Функция распределения монотонно неубывающая функция. Для любых u1 < u2
F (u)1) ≤ F (u2).
Это следует из того, что при u1 < u2 событие
A = {ω : X(ω) < u1} B = {ω : X(ω) < u2}.
Поэтому и
F (u1) = p(X(ω) < u1) ≤ p(X(ω) < u2) = F (u2).
3. limu→−∞ F (u) = 0
Существование предела функции F (u) при u → −∞ следует из монотонности
и ограниченности этой функции. Нужно только лишь доказать, что по некоторой подпоследовательности стремящейся к −∞ этот предел равен 0.
2
Рассмотрим множества
An = {ω : X(ω) < −n}.
Очевидно, что
An An+1 ...
è
\
An = Ø.
n
По аксиоме свойству непрерывности вероятности получаем, что
lim F (−n) = lim p(An) = 0.
n→∞ n→∞
Предел функции F (u) существует и по некоторой подпоследовательности равен 0. Поэтому и limu→−∞ F (u) = 0
4. limu→∞ F (u) = 1
Вновь из монотонности и ограниченности функции F (u) следует существование предела этой функции при u → ∞. Покажем, что этот предел по некоторой
последовательности, стремящейся к бесконечности, равен 1.
Рассмотрим последовательность множеств Bn = {ω : X(ω) ≥ n} Очевидно,
T
÷òî Bn Bn+1 ... è n Bn = Ш. Поэтому по свойству непрерывности вероятности,
lim p(Bn) = 0.
n→∞
Очевидно, что
{ω : X(ω) < n} + {ω : X(ω) ≥ n} = Ω.
p(ω : X(ω) < n) + p(ω : X(ω) ≥ n) = 1.
Отсюда получаем, что
nlim F (n) = |
nlim p(X(ω) < n) = nlim (1 − p(Bn)) = 1. |
|
→∞ |
→∞ |
→∞ |
Из анализа известно также, что монотонная ограниченная функция имеет не более, чем счетное число разрывов и все эти разрывы - разрывы 1-го рода. Это означает, что если u0 точка разрыва функции распределения F (u), то в этой точке существуют пределы справа и слева
lim = F (u |
0− |
), |
lim = F (u |
+) |
|||
u |
u0 |
|
u |
u0 |
0 |
|
|
↑ |
|
|
|
↓ |
|
|
|
5. Функция распределения непрерывна слева. Это означает, что для любой последовательности точек un ↑ u
lim F (un) = F (u)
un↑u
3

Рассмотрим случайные события Cn = {ω : X(ω) ≥ un} Очевидно, что
Cn Cn+1 ...
è
\
Cn = {ω : X(ω) ≥ x}.
n
Поэтому по свойству непрерывности вероятности ( лекция 2)
lim p(Cn) = p(X(ω) ≥ u) = 1 − p(X(ω) < u) = 1 − F (u).
n→∞
Íî
p(Cn) = p(X(ω) ≥ un) = 1 − p(X(ω) < un) = 1 − F (un).
Значит,
nlim (1 − F (un)) = nlim p(Cn) = 1 − F (u). |
|
→∞ |
→∞ |
Отсюда и получаем, что |
|
lim |
F (un) = F (u). |
n→∞ |
|
Зная функцию распределения можно вычислять вероятности различных событий, связанных со случайной величиной X(ω).
Мы уже пользовались тем, что для любого u p(X(ω) ≥ u) = 1 − F (u).
Покажем теперь, что для любых u1 < u2
p(u1 ≤ X(ω) < u2) = F (u2) − F (u1).
Действительно,
{ω : X(ω) < u2} = {ω : X(ω) < u1} + {ω : u1 ≤ X(ω) < u2}.
Поэтому
F (u2) = F (u1) + p(u1 ≤ X(ω) < u2).
А это и означает, что для случайной величины вероятность попасть в полуоткрытый интервал вычисляется как разность значений функции распределения этой случайной величины в концах интервала.
Из доказанного только что равенства следует, что для любого u R
p(X(ω) = u) = F (u+) − F (u).
Для того, чтобы убедиться в этом, введем множества
1
Dn = {ω : u ≤ X(ω) < u + n}.
4

Тогда
Dn Dn+1 ...
è
\
Dn = {ω : X(ω) = u}.
n
Отсюда, используя свойство непрерывности вероятности и доказанное выше равенство, получаем, что
|
1 |
|
|
p(X(ω) = u) = nlim p(Dn) = nlim p(u ≤ X(ω) < u + |
|
) = |
|
n |
|||
→∞ |
→∞ |
= lim (F (u + 1 ) − F (u)) = F (u+) − F (u).
n→∞ n
Важное замечание. Если функция распределения F (u) случайной величи- ны X(ω) непрерывна в точке u, то
p(X(ω) = u) = 0.
Просто замечание. Иногда функцию распределения определяют следующим образом
G(u) = p(X(ω) ≤ u).
Все свойства функции распределения G(u) в основном те же, что и у функции F (u) = p(X < u). Важно только, что функция G(u) непрерывна справа.
Итак, фунция распределения обладает свойствами:
1)F (u1) ≤ F (u2), u1 < u2.
2)F (u) - непрерывна слева при каждом u R.
3)limu→−∞ F (u) = 0, limu→∞ F (u) = 1.
Каждая функция, обладающая свойствами 1)-3) может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины.
Если задана функция распределения, то говорят, что задан закон распределения случайной величины. Если известна функция распределения, то можно вычислить P (a ≤ X < b) для любых отрезков [a, b). Из свойств вероятности
следует тогда, что можно вычислить вероятности того, что значение случайной величины будет принадлежать дополнению к любому отрезку, пересечению и объединению любого счетного числа отрезков. Короче говоря, зная функцию распределения можно вычислить вероятность того, что значение случайной величины будет принадлежать любому подмножеству из борелевской σ-алгебры на прямой.
Теперь вернемся к функции распределения F (u). Из анализа известно, что
любая функция распределения (функция, обладающая свойствами 1)-3)) раскладывается на сумму трех функций
F (u) = αFa(u) + βFc(u) + γFd(u),
5

где α, β, γ - неотрицательные числа, сумма которых равна 1, а Fa(u), Fc(u), Fd(u) - функции распределения (обладают свойствами 1)-3)).
Ïðè ýòîì Fd(u) - кусочно-постоянная (ступенчатая) функция распределения с не более, чем счетным числом скачков.
Функция Fa(u) - абсолютно непрерывная функция распределения. Это озна- чает, что существует функция f(v) ≥ 0, такая, что для любого u
Z u
Fa(u) = f(v)dv.
−∞
Функция распределения Fc(u) - так называемая, сингулярная составляющая функции F (u). Это непрерывная функция, производная которой почти всюду
равна нулю.
На практике обычно встречаются случайные величины, функция распределения которых или дискретна или абсолютно непрерывна. То есть, обычно, или
FX(u) = Fd(u), èëè FX(u) = Fa(u).
Дискретные распределения.
Определение.Случайная величина X(ω) имеет дискретное распределение, если существует конечный или счетный набор чисел X = {x1, x2, ..}, такой, что
à)p(X(ω) = xi) = pi > 0, для любого i
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
á) |
|
i=1 pi = 1. |
x1, x2, ... |
|
p1, p2, ... |
|
|
|
|
|||||||
Наборы чисел |
è |
можно задавать в виде таблицы, которая |
||||||||||||||
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
называется рядом распределения или таблицей распределения. |
||||||||||||||||
|
X |
x1 |
· · · |
xk |
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
P |
p1 |
· · · |
pk |
|
|
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция распределения случайной величины с дискретным распределением |
|||||||||||||||
- кусочно-постоянная (ступенчатая функция) равна |
(x1 < x2 < .... < xk < ..) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, u ≤ x1, |
|
x2, |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 |
, x1 < u |
≤ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 + p2, x2 < u x3, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
X |
(u) = |
|
|
|
|
≤ |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · ·k |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 pi, xk < u ≤ xk+1, |
P
· · ·
Примеры дискретных распределений.
Вырожденное распределение. Говорят, что случайная величина X(ω)
имеет вырожденное распределение, если она с вероятностью 1 принимает единственное значение а, то есть p(X(ω) = a) = 1. Таблица вырожденного распреде-
ленияX a
P1
Функция распределения случайной величины, имеющей вырожденное распределение равна
(
0, x ≥ 0
F (x) =
1, x > 0
6

Распределение Бернулли B(1,p), 0<p<1. Случайная величина, принимающая значения 0 и 1. Таблица распределения выглядит следующим образом
X |
0 |
1 |
|
|
|
P |
1-p |
p |
Биномиальное распределение B(n,p), n - любое целое число, 0<p<1.
Случайная величина имеет биномиальное распределение, если с положительной вероятностью она принимает значения 0, 1, ..., n и
p(X = k) = Cnkpk(1 − p)n−k, k = 0, 1, ..., n.
С биномиальным распределеним мы уже встречались. Случайная величина µn (число успехов в n испытаниях Бернулли с вероятностью успеха p в каждом испытании) имеет биномиальное распрежедение.
Геометрическое распределение G(p), 0<p<1. Случайная величина имеет геометрическое распределение, если
p(X = k) = qk−1p, k = 1, 2, ..., q = 1 − p, p (0, 1)
Число испытаний до первого успеха в последовательности независимых испытаний Бернулли имеет геометрическое распределение.
Свойство "нестарения "геометрического распределения (свойство отсутствия последействия).
Пусть X - случайная величина, имеющая геометрическое распределение, а n, k - два целых положительных числа. Подсчитаем сначала
∞ |
∞ |
|
|
|
∞ |
|
||
X |
X |
|
|
|
Xi |
|
||
p(X > n) = |
p(X = i) = |
qi−1p = p qi+n = qn |
||||||
i=n+1 |
i=n+1 |
|
|
=0 |
|
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
p(X > k + n/x > k) = |
p(X > k + n, X > k) |
= |
P (X > k + n) |
= p(X > n). |
||||
|
|
P (X > k) |
|
|||||
|
|
P (X ≥ k) |
|
|
|
|
Распределение Пуассона Π(λ), λ > 0.
Cлучайная величина имеет распределение Пуассона, если она принимает целые значения с вероятностями
p(X = k) = e−λ λk , k = 0, 1, 2, ...
k!
Случайные величины, имеющие пуассоновское распределение встречаются очень часто в страховых компаниях.
Задача Страховая компания за каждый страховой случай выплачивает 10000 руб. Считается, что число страховых случаев за год имеет пуассоновское распределение с параметром λ = 8. Какова вероятность того, что за год страховой
компанией будет выплачено не более 100000 рублей?
Решение. Число страховых случаев за год обозначим X - случайная вели- чина, имеющая пуассоновское распределение, а это значит, что
P (X = k) = e−8 8k , k = 0, 1, ...
k!
7

Поэтому, за год выплаты составят 10000X. Вероятность интересующего события
p(10000X(ω) ≤ 100000) = p(X(ω) ≤ 10) = Σ10 e−8 8i = 0.8158.
i=1 i!
Гипергеометрическое распределение Говорят, что случайная величина
X(ω) имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n, N, K (K, N, n целые числа и K ≤ N, n ≤ N), если X(ω) принимает целые значения от max{0, n− (N − K)} до min{n, K} с вероятностями
Ck Cn−k
p(X(ω) = k) = K N−K .
CNn
Случайная величина с таким распределением появляется во многих экспериментах. Например, из урны, содержащей K белых шаров и N − K не белых, без
возвращения вынимается n шаров. Число белых шаров среди этих n вынутых - случайная величина, распределенная по гипергеометрическому закону.
Еще раз повторим, что функция распределения случайной величи- ны, имеющей дискретное распределение - кусочно-постоянна. Разрывы функции распределения этой случайной величины происходят в точках, которые случайная величина принимает с положительной вероятностью. Величина скач- ка функции распределения в точке x равна вероятности, с которой случайная
величина принимает значение x.
8